Перемешивание (динамические системы)

В теории динамических систем, перемешивание — свойство системы «забывать» информацию о начальном условии с течением времени. Более точно, различают топологическое и метрическое перемешивание. Первое относится к теории непрерывных систем и, грубо говоря, утверждает, что сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное её местонахождение становится всё более и более плотным множеством. Второе относится к теории измеримых систем — систем, сохраняющих некоторую меру $\mu$ — и утверждает, что распределение абсолютно непрерывной относительно $\mu$ меры (например, ограничения $\mu$ на заданное подмножество начальных условий) при итерациях стремится к самой мере $\mu$.

Перемешивание цветного пластилина в шарике, подвергающемся последовательным отображениям Подковы Смейла

Определения

Топологическое перемешивание

По определению, (непрерывная) динамическая система $f:X\to X$ называется топологически перемешивающей, если для любых двух непустых открытых множеств $A,B\subset X$ выполнено

$\exists N: \quad \forall n\ge N \quad f^n(A)\cap B \neq\emptyset,$

или, что то же самое,

$\exists N: \quad \forall n\ge N \quad A\cap f^{-n}(B) \neq\emptyset,$

Это, в частности, означает, что для любых заданных $\varepsilon>0$ и непустого открытого множества $A$ все итерации $A$ с достаточно большим номером оказываются $\varepsilon$-плотны в фазовом пространстве.

Топологическое перемешивание является более сильным, чем транзитивность, свойством. Так, иррациональный поворот окружности транзитивен, но не перемешивает.

Метрическое перемешивание

По определению, сохраняющее меру измеримое отображение $f:(X,\mathcal{A},\mu)\to (X,\mathcal{A},\mu)$ называется метрически перемешивающим, если для любых двух измеримых множеств $A,B\in \mathcal{A}$ выполнено

$\mu(f^{-n}(A) \cap B)\to \mu(A)\mu(B), \quad n\to\infty.$

В терминах интегрируемых функций, это равносильно тому, что для любых двух функций $\varphi,\psi \in L_2(X,\mu)$ выполнено

$\int_X \varphi(f^n(x)) \psi(x) \, d\mu(x) \to \int_X \varphi \, d\mu \cdot \int_X \psi \, d\mu.$

Эргодичность меры $\mu$ является необходимым, но не достаточным условием метрического перемешивания. Так, иррациональный поворот окружности сохраняет эргодическую для него меру Лебега, но не является метрически перемешивающим.

См. также

• Транзитивность (динамические системы)
• Спектральная теория динамических систем

Литература

• Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория.
• Синай Я. Г., Современные проблемы эргодической теории, М.:ФизМатЛит, 1995, с. 24.
• А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.