Синус-верзус

Определение тригонометрических функций на единичной окружности. Отрезок CD описывает версинус.

Синус-верзус (sinus versus — обращённый синус; другие написания: версинус, синус версус, называется также «стрелка дуги») — одна из редко используемых тригонометрических функций. Синус-верзус угла $\vartheta$ обозначается символом $\operatorname{versin}\,\vartheta ;$ иногда используются обозначения $\operatorname{vers}\,\vartheta, \quad \sin\,\operatorname{vers}\,\vartheta.$

Определение

Синус-верзус определяется с помощью синуса и косинуса как

$\operatorname{versin}\,\vartheta=1-\cos\vartheta=2\sin^2\left(\frac{\vartheta}{2}\right).$

Синус-верзус вместе с косинусом составляет радиус окружности.

Свойства

График функции cинус-верзус.

Версинус — периодическая функция с периодом 2π. Определена, непрерывна и бесконечно дифференцируема для всех действительных чисел.

$\rm versin$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная версинуса — синус:

$\frac{d}{dz}\operatorname{versin}\, z =\sin z.$

Первообразная:

$\int\operatorname{versin}\, z \,dz = z-\sin z + C.$

История и использование

Синус-верзус играл важную роль в навигации по звёздам^[1].

См. также

• Редко используемые тригонометрические функции

Примечания

1. ↑ Schenk, Bobby Astronavigation – ohne Formeln – praxisnah. — Bielefeld: Verlag Delius Klasing & Co, 1978.

• Weisstein, Eric W. Versine (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• M. Abramowitz, I. A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (9)1972, New York: Dover, стр. 78