Функциональное уравнение Коши

Функциональное уравнение Коши для функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ имеет вид

$f(x + y) = f(x) + f(y)$.

Функцию, удовлетворяющую этому уравнению, называют аддитивной. Этот термин применяется для произвольных функций, не только над $\mathbb{R}$.

Уравнение Коши является одним из старейших и наиболее простых функциональных уравнений, однако его решение в вещественных числах является достаточно сложным. В рациональных числах может быть доказано с использованием элементарной математики, что существует единственное семейство решений вида $f(x) = cx$, где c — произвольная константа. Это семейство решений является одним из решений и на множестве вещественных чисел. Дальнейшие ограничения на $f$ могут исключать другие решения, например:

• $f$ непрерывна (доказано Коши в 1821 году). Это условие было ослаблено в 1875 году Дарбу, который показал, что непрерывность функции необходима только в одной точке.
• $f$ монотонна на некотором интервале.
• $f$ ограничена на некотором интервале.

С другой стороны, если нет никаких дополнительных ограничений на $f$, то существует бесконечно много других функций, которые удовлетворяют уравнению. Это было доказано в 1905 году Георгом Гамелем с использованием базиса Гамеля, а значит и аксиомы выбора). Обобщение Третьей проблемы Гильберта на случай многомерных пространств использует это уравнение.

Решение в рациональных числах

Докажем, что за знак функции можно выносить рациональные числа. Возьмём $n \in \mathbb{N}$:

$f(n x) = f(x + x + \cdots + x) = f(x) + f (x) + \cdots + f(x) = n f(x)$,

$f \left( \frac{x}{n} \right) = \frac{n f(x / n)}{n} = \frac{f(x)}{n}$.

Теперь положим $x = y = 0$ и $y = -x$:

$f(0) = f(0) + f(0) \Rightarrow f(0) = 0$,

$f(0) = f(x) + f(-x) \Rightarrow f(-x) = -f(x)$.

Собрав всё вместе, получим:

$\forall a \in \mathbb{Q}, x \in \mathbb{R}: f(a x) = a f(x)$.

Положив $x = 1$ и обозначив $c = f \left( 1 \right)$, мы имеем единственное семейство решений $f(x)=cx$ над $\mathbb{Q}$.

Cуществование других решений

Доказательство существования нелинейных решений не конструктивно и основано на аксиоме выбора. С её помощью доказывается существование базиса Гамеля в любом векторном пространстве, в том числе бесконечномерном.

Рассмотрим $\mathbb{R}$ как векторное пространство над полем $\mathbb{Q}$: в нём есть базис Гамеля. Возьмём коэффициент перед некоторым базисным вектором $\alpha$ в разложении числа $x$ по базису — это и будет значение $f (x)$. Полученная функция принимает рациональные значения (как коэффициент при разложении над $\mathbb{Q}$) и не равна тождественно нулю ($f (\alpha) = 1$), а потому не может быть линейна. Нетрудно понять, что она аддитивна, то есть удовлетворяет уравнению Коши.

Свойства других решений

Сейчас мы докажем, что всякое нелинейное решение должно быть достаточно необычной функцией — его график $y = f(x)$ должен быть всюду плотен в $\mathbb{R}^2$. Это означает, что любой, сколь угодно малый круг на плоскости содержит по крайней мере одну точку этого графика. Из этого легко выводятся другие свойства, такие как разрывность в любой точке, немонотонность и неограниченность на любом интервале.

Мы можем, поделив функцию на $c = f (1)$, считать, что $\forall a \in \mathbb{Q}: f(a) = a$. Если функция $f(x)$ не линейна, то $f(\alpha) \neq \alpha$ для некоторого $\alpha \in \mathbb{R}$: положим $f(\alpha) = \alpha + \delta, \delta \neq 0$. Покажем теперь, как найти точку графика в произвольном круге с центром в точке $(x, y)$, радиуса $r$, где $x, y, r \in \mathbb{Q}, r > 0, x \neq y$. Ясно, что этого достаточно для всюду плотности.

Положим $\beta = \frac{y - x}{\delta}$ и выберем рациональное число $b \neq 0$, близкое к $\beta$, таким образом, чтобы:

$\left| \beta - b \right| < \frac{r}{3 \left|\delta\right|}$

Затем выберем рациональное число $a$, близкое к $\alpha$, так, чтобы:

$\left| \alpha - a \right| < \frac{r}{3\left|b\right|}$

Теперь возьмем $X = x + b (\alpha - a)$ и, используя функциональное уравнение, получим:

$Y = f(X) = f(x + b (\alpha - a))$

$= x + b f(\alpha) - b f(a)$

$= y - \delta \beta + b f(\alpha) - b f(a)$

$= y - \delta \beta + b (\alpha + \delta) - b a$

$= y + b (\alpha - a) - \delta (\beta - b)$

Но тогда $(Y - y) ^ 2 + (X - x) ^ 2 = (b (\alpha - a) - \delta (\beta - b))^2 + (b (\alpha - a))^2 \leqslant \left( \frac{r}{3} + \frac{r}{3} \right) ^ 2 + \left( \frac{r}{3} \right) ^ 2 < r ^ 2$, то есть точка $(X, Y)$ оказалась внутри круга.

Литература

• Н. К. Верещагин, А. Шень Начала теории множеств. — С. 82. — (Лекции по математической логике и теории алгоритмов).
• Решение функционального уравнения Коши — Rutgers University  (англ.)