Фрактал Ляпунова

Фрактал Ляпунова
Стандартный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AB в области [2, 4] x [2, 4].

Фракталы Ляпунова (также известные как фракталы Маркуса-Ляпунова) — бифуркационные фракталы, порождённые расширением логистического отображения, в которых степень роста совокупности r периодически меняет значение с A на B и наоборот.

Фракталы Ляпунова строятся отображением областей стабильного и хаотического поведения, измеряемых экспонентой Ляпунова (en) \lambda, в плоскости a-b для данной периодической последовательности a и b. На рисунках жёлтый цвет соответствует стабильности (\lambda < 0), а синий - хаосу (\lambda > 0).

Свойства

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью BBBBBBAAAAAA; зона роста параметра -- в области [3.4, 4.0] x [2.5, 3.4]. Также известен как Zircon City.

Фракталы Ляпунова обычно строятся для значений A и B в интервале [0,4]. Для бо́льших значений интервал [0,1] уже не стабилен, и последовательность вероятнее всего стремится к бесконечности, хотя для некоторых параметров всё ещё существуют сходящиеся циклы конечных значений. У всех итерационных последовательностей диагональ a = b такая же, как у стандартной логистической функции с одним параметром.

Последовательность обычно начинается со значения 0,5, которое является критической точкой итеративной функции. Другие (обычно комплекснозначные) критические точки итеративной функции одного полного цикла - это те, которые проходят через значение 0,5 в первом цикле. Сходящийся цикл должен содержать по меньшей мере одну критическую точку, поэтому все сходящиеся циклы могут быть получены всего лишь сдвигом итерационной последовательности с сохранением начального значения 0,5. На практике сдвиг этой последовательности приводит к изменениям фрактала, поскольку некоторые ветви перекрываются другими. Например, обратите внимание, что фрактал Ляпунова для итерационной последовательности AB не идеально симметричен относительно a и b.

Алгоритм генерации фракталов Ляпунова

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AABAB в области [2, 4] x [2, 4].
  1. Выбрать строку из символов A и B и C и D любой нетривиальной длины (например, AABABCCAADDCD).
  2. Построить последовательность S последовательных символов строки, повторённых необходимое число раз.
  3. Выбрать точку (a,b) \in [0,4] \times [0,4].
  4. Выбрать точку (c,d) \in [4,0] \times [4,0].
  5. Определить функцию r_n = \begin{cases}a, & S_n = A\\
b, & S_n = B\\
c, & S_n = C\\
d, & S_n = D\end{cases}.
  6. Принять x_0 = 0,5 и выполнить итерации x_{n+1}=r_nx_n(1 - x_n).
  7. Вычислить экспоненту Ляпунова (англ.): \lambda = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \log \left| {dx_{n + 1} \over dx_n} \right| = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \log |r_n(1 - 2x_n)|
  8. Раскрасить точку (a,b) + (c,d) согласно полученному значению \lambda.
  9. Повторить шаги 3-7 для каждой точки плоскости изображения.


На практике \lambda аппроксимируется подбором достаточно великого N. Этот алгоритм подходит для таких языков, как Mathematica, но не для языков низкого уровня.

Внешние ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Нужна помощь с курсовой?

Полезное


Смотреть что такое "Фрактал Ляпунова" в других словарях:

  • Ляпунов, Александр Михайлович — Александр Михайлович Ляпунов А. М. Ляпунов в молодости Дата рождения: 25 мая (6 июня) 1857(1857 06 06) Место рождения: Ярославль …   Википедия

  • Ляпунов, Александр — Александр Михайлович Ляпунов А. М. Ляпунов в молодости Дата рождения: 25 мая 1857(18570525) Место рождения: Ярославль Дата смерти …   Википедия

  • Ляпунов А. М. — Александр Михайлович Ляпунов А. М. Ляпунов в молодости Дата рождения: 25 мая 1857(18570525) Место рождения: Ярославль Дата смерти …   Википедия

  • Ляпунов Александр Михайлович — Александр Михайлович Ляпунов А. М. Ляпунов в молодости Дата рождения: 25 мая 1857(18570525) Место рождения: Ярославль Дата смерти …   Википедия

  • Теория хаоса — У этого термина существуют и другие значения, см. Теория хаоса (значения). Диаграмма раздвоения логистической карт …   Википедия

  • УПОРЯДОЧЕННОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ КРИТЕРИЙ — способ количественного сравнения относительной степени упорядоченности (или, напротив, хаотичности) состояний открытых систем. В качестве У. о. к. может быть выбрано, напр., сравнение значений показателей Ляпунова, энтропии Крылова Колмогорова… …   Физическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»