Фрактал Ляпунова

Стандартный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AB в области [2, 4] x [2, 4].

Фракталы Ляпунова (также известные как фракталы Маркуса-Ляпунова) — бифуркационные фракталы, порождённые расширением логистического отображения, в которых степень роста совокупности r периодически меняет значение с A на B и наоборот.

Фракталы Ляпунова строятся отображением областей стабильного и хаотического поведения, измеряемых экспонентой Ляпунова (en) $\lambda$, в плоскости a-b для данной периодической последовательности a и b. На рисунках жёлтый цвет соответствует стабильности ($\lambda < 0$), а синий - хаосу ($\lambda > 0$).

Свойства

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью BBBBBBAAAAAA; зона роста параметра -- в области [3.4, 4.0] x [2.5, 3.4]. Также известен как Zircon City.

Фракталы Ляпунова обычно строятся для значений A и B в интервале $[0,4]$. Для бо́льших значений интервал $[0,1]$ уже не стабилен, и последовательность вероятнее всего стремится к бесконечности, хотя для некоторых параметров всё ещё существуют сходящиеся циклы конечных значений. У всех итерационных последовательностей диагональ a = b такая же, как у стандартной логистической функции с одним параметром.

Последовательность обычно начинается со значения 0,5, которое является критической точкой итеративной функции. Другие (обычно комплекснозначные) критические точки итеративной функции одного полного цикла - это те, которые проходят через значение 0,5 в первом цикле. Сходящийся цикл должен содержать по меньшей мере одну критическую точку, поэтому все сходящиеся циклы могут быть получены всего лишь сдвигом итерационной последовательности с сохранением начального значения 0,5. На практике сдвиг этой последовательности приводит к изменениям фрактала, поскольку некоторые ветви перекрываются другими. Например, обратите внимание, что фрактал Ляпунова для итерационной последовательности AB не идеально симметричен относительно a и b.

Алгоритм генерации фракталов Ляпунова

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AABAB в области [2, 4] x [2, 4].

1. Выбрать строку из символов A и B и C и D любой нетривиальной длины (например, AABABCCAADDCD).
2. Построить последовательность $S$ последовательных символов строки, повторённых необходимое число раз.
3. Выбрать точку $(a,b) \in [0,4] \times [0,4]$.
4. Выбрать точку $(c,d) \in [4,0] \times [4,0]$.
5. Определить функцию $r_n = \begin{cases}a, & S_n = A\\ b, & S_n = B\\ c, & S_n = C\\ d, & S_n = D\end{cases}$.
6. Принять $x_0 = 0,5$ и выполнить итерации $x_{n+1}=r_nx_n(1 - x_n)$.
7. Вычислить экспоненту Ляпунова (англ.): $\lambda = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \log \left| {dx_{n + 1} \over dx_n} \right| = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \log |r_n(1 - 2x_n)|$
8. Раскрасить точку $(a,b) + (c,d)$ согласно полученному значению $\lambda$.
9. Повторить шаги 3-7 для каждой точки плоскости изображения.

На практике $\lambda$ аппроксимируется подбором достаточно великого $N$. Этот алгоритм подходит для таких языков, как Mathematica, но не для языков низкого уровня.

Внешние ссылки

• EFG's Fractals and Chaos - Lyapunov Exponents (англ.)
• Elert, Glenn Lyapunov Space. The Chaos Hypertextbook. Архивировано из первоисточника 30 марта 2012. (англ.)