Формула Стирлинга

Отношение (ln n!) к (n ln n − n) стремится к 1 с увеличением n.

В математике формула Стирлинга (также формула Муавра — Стирлинга) — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции. Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы.^[1]

Наиболее используемый вариант формулы:

$\ln \Gamma(n+1) = \ln n! = n\ln n - n +O(\log(n))\$

Следующий член в O(log(n)) — это ¹⁄₂ln(2πn); таким образом более точная аппроксимация:

$\lim_{n \rightarrow \infty} {\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}}} = 1,$

что эквивалентно

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.$

Ссылки

1. ↑ Pearson, Karl, "«Historical note on the origin of the normal curve of errors»", Biometrika Т. 16: 402–404 [p. 403] : «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна $\sqrt{2\pi}$. Я считаю, что это не делает его автором теоремы».