Формула Валлиса

В 1655 году Джон Валлис предложил формулу для определения числа $\pi$:

$\frac {\pi}{2}\, = \,\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} \,= \, \frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{10}{9}\cdot \frac{10}{11}$

Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа $\pi \,$ формула Валлиса мало пригодна. Однако она полезна в различных теоретических исследованиях, например при выводе формулы Стирлинга. Исторически формула Валлиса имела значение как один из первых примеров бесконечных произведений. Тем не менее, если в этой формуле слегка откорректировать концовку:

$\pi\, \approx \,[ \, \prod_{n=1}^{m-1}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} \, ] \, \cdot \, [ \, \frac {2m}{2m-1} \cdot ( \frac {2m}{2m+1} \cdot \frac {1}{4}+1)+ \frac {3}{4} \, ] \,= \, \frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot [ \, \frac{8}{7}\cdot ( \frac{8}{9}\cdot \frac {1}{4}+1) + \frac {3}{4} \, ]$

то скорость сходимости возрастет примерно на пять порядков.-->

Доказательство пользуясь бесконечным произведением Эйлера функции синуса ^[1]

$\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)$

Пусть x = π/2:

$\Rightarrow\frac{2}{\pi}=\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right)$

$\begin{align} \Rightarrow\frac{\pi}{2} &{}= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) \\ &{}= \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots \end{align}$

Примечания

1. ↑ Wallis Formula.

Ссылки

• Формула Валлиса
• Вывод формулы Валлиса

Шаблон:En-translate