Финслерова геометрия

Финслерова геометрия — одно из обобщений римановой геометрии. В финслеровой геометрии рассматриваются многообразия с финслеровой метрикой; то есть выбором нормы на каждом касательном пространстве, которая гладко меняется от точки к точке.

Основные понятия

Пусть $M^n$ — $n$-мерное связное $C^{\infty}$-многообразие. Обозначим через $TM^n$ касательное расслоение $M^n$. Тогда финслеровой метрикой на $M^n$ называется функция $F\colon TM^n\rightarrow [0,\infty)$, удовлетворяющая свойствам:

1. $F\in C^{\infty}(TM^n\setminus\{0\})$ ;
2. $F$ положительно однородна первой степени, то есть для любой пары $(x,y)\in TM^n$ и числа $\lambda>0$,

   $\ F(x,\lambda y)=\lambda F(x,y)$;

3. Для любой пары $(x,y)\in TM^n$ билинейная форма $\mathbf{g}_y\colon T_x M^n\times T_x M^n\rightarrow \mathbb{R}$,

   $\mathbf{g}_y(u,v)=\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial t\,\partial s} \lbrack F^2(x,y+su+tv)\rbrack |_{s=t=0}$

положительно определена.

Если положить $g_{ij}(x,y) = \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^i\partial y^j}[F^2(x,y)]$, то форму $\mathbf{g}_y(u,v)$ можно переписать в виде $\mathbf{g}_y(u,v)=g_{ij}(x,y)u^iv^j$

Для любого ненулевого векторного поля $Y$, определенного на $U \subset M^n$, $\mathbf{g}_Y(u,v)$ есть риманова метрика на $U$.

Для гладкой кривой $c:[a,b]\rightarrow M^n$, на многообразии $M^n$, с финслеровой метрикой $F$, длина определяется интегралом $L_F(c)=\int_a^b F(c(t),\dot{c}(t))dt$

Оператор ковариантного дифференцирования Черна (или Рунда) $\nabla:T_xM^n \times \Gamma^\infty(TM^n)\rightarrow T_xM^n$ определяется как $\nabla_yU:=\{dU^i(y)+U^jN_j^i(x,y)\}\frac{\partial}{\partial x^i}|_x,$ где $y\in T_xM^n$, $U\in \Gamma^\infty(TM^n)$ и $N^i_j(x,y)=\frac{\partial}{\partial y^j}\left[\frac{1}{4} g^{il}(x,y)\left\{2\frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k}(x,y)-\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l}(x,y) \right\}y^my^k\right].$

Введенная таким образом связность на многообразии не является, вообще говоря, афинной связностью. Связность будет афинной в том и только в том случае, когда финслерова метрика будет метрикой Бервальда. По определению это значит что уравнения геодезических имеют такой же вид, как и в римановой геометрии, или геодезические коэффициенты

$G^i(x,y)=\frac{1}{4} g^{il}(x,y)\left\{2\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^k}(x,y)-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}(x,y) \right\}y^jy^k$ представимы в виде $G^i(x,y) = \Gamma^i_{jk}(x)y^j y^k.$

Для вектора $y\in T_xM^n\backslash \{0\}$ рассмотрим функции $R_k^i(y)=2\frac{\partial G^i}{\partial x^k}-\frac{\partial^2 G^i}{\partial x^j \partial y^k}y^j+2G^j\frac{\partial^2G^i}{\partial y^j \partial y^k}-\frac{\partial G^i}{\partial y^j}\frac{\partial G^j}{\partial y^k}$ Тогда семейство преобразований $\mathbf{R}=\left\{\mathbf{R}_y=R_k^i(y)\frac{\partial}{\partial x^i}\otimes dx^k|_x:T_xM^n\rightarrow T_xM^n,y\in T_xM^n\backslash\{0\}, x \in M^n\right\}$ называется римановой кривизной. Пусть $P\subset T_xM^n$ касательная 2-мерная плоскость. Для вектора $y \in P\backslash\{0\}$, определим $K(P,y)=\frac{\mathbf{g}_y(\mathbf{R}_y(u),u)}{\mathbf{g}_y(y,y)\mathbf{g}_y(u,u)-\mathbf{g}_y(y,u)^2},$ где $u\in P$ такой вектор, что $P=\mathrm{span}\{y,u\}$. $K(P,y)$ не зависит от выбора $u\in P$. Число $K(P,y)$ называется флаговой кривизной флага $(P,y)$ в $T_xM^n$.

История

Идею финслерова пространства можно увидеть уже в лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854 г.). Наряду с метрикой, задаваемой положительным квадратным корнем из положительно определенной квадратичной дифференциальной формы (см. Риманова метрика, Риман рассматривает также метрику задаваемую положительным коренем четвертой степени из дифференциальной формы четвертого порядка. Финслерова метрика является следующим естественным обобщением.

Систематическое изучение многообразий с такой метрикой началось с диссертации Финслера (англ.), увидевшей свет в 1918 г., и поэтому название таких метрических пространств теперь связывают с его именем. Фактором, положившим начало исследовательской деятельности в этом направлении, следует, по-видимому, считать введение Каратеодори новых геометрических методов в вариационное исчисление для изучения задач в параметрической форме. Ядром этих методов является понятие индикатрисы, причем свойство выпуклости индикатрисы играет в этих методах важную роль, поскольку оно обеспечивает выполнение необходимых условий минимума в вариационной задаче для стационарных кривых. Именно поэтому диссертация Финслера должна рассматриваться как первый шаг в этом направлении.

Несколькими годами позже в общем развитии финслеровой геометрии происходит интересный поворот от первоначальной точки зрения Финслера к новым теоретическим методам. Финслер, руководствуясь в основном понятиями вариационного исчисления, не использовал методов тензорного анализа. В 1925 тензорный анализ был применен к теории почти одновременно Сингом (англ.), Тейлором (англ. J.H. Taylor) и Бервальдом (англ. L. Berwald).

Новый поворот в развитии теории произошел в 1934 г., когда Картан опубликовал свой трактат о финслеровых пространствах. Картановский подход преобладал практически во всех последующих исследованиях геометрии финслеровых пространств, и несколько математиков выразили мнение, что в результате теория достигла своей окончательной формы. Это мнение, однако, было правильно только до некоторой степени. Метод Картана вел к развитию финслеровой геометрии путем прямого развития методов римановой геометрии.

Критику методов Картана независимо друг от друга высказали несколько исследователей, в частности, Вагнер, Буземан (англ. H. Busemann) и Рунд (англ. H. Rund). Ими было подчеркнуто, что естественной локальной метрикой финслерова пространства является метрика Минковского, тогда как произвольное наложение евклидовой метрики затемняет ряд наиболее интересных характеристик финслеровых пространств. По этим причинам в начале 50-х годов были выдвинуты дальнейшие теории. В результате этого заметно увеличились аналитические трудности. Буземан сказал по этому поводу, что «Финслерова геометрия со стороны представляет собой лес, в котором вся растительность состоит из тензоров».

Вариации и обобщения

• Пространства Бервальда-Моора

Внешние ссылки

• Сайт Шена о финслеровой геометрии.  (англ.)
• Некоммерческий фонд развития исследований по финслеровой геометрии.

Литература

• Г.С. Асанов. Финслерово пространство с алгебраической метрикой, определяемой полем реперов. — Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 8, ВИНИТИ, М., 1977, 67–87.
• В. И. Близникас. Пространства Финслера и их обобщения. — Итоги науки. Сер. Мат. Алгебра. Топол. Геом. 1967, ВИНИТИ, М., 1969, 73–125.
• П.К. Рашевский. Полиметрическая геометрия, — Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. Выпуск 5. ОГИЗ, 1941.
• П.К. Рашевский. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
• Х. Рунд. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств, — М.: «Наука», 1981.
• D. Bao, S.S. Chern and Z. Shen. An Introduction to Riemann-Finsler Geometry, — Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-98948-X.
• S. Chern. Finsler geometry is just the Riemannian geometry without the quadratic restriction, — Notices AMS, 43 (1996), pp. 959-63.
• Z. Shen. Lectures on Finsler Geometry, — World Scientific Publishers, 2001. ISBN 981-02-4531-9.