Уравнения Френеля

Переменные, используемые в уравнениях Френеля.

Фо́рмулы Френе́ля или уравне́ния Френе́ля определяют амплитуды и интенсивности преломлённой и отражённой волны при прохождении света (и вообще электромагнитных волн) через плоскую границу раздела двух сред с разными показателями преломления. Названы в честь Огюста Френеля, французского физика, который их вывел. Отражение света, описываемое уравнениями Френеля, называется френелевским отражением.

Формулы Френеля справедливы в том случае, когда граница раздела двух сред гладкая, среды изотропны, угол отражения равняется углу падения, а угол преломления определяется законом Снеллиуса. В случае неровной поверхности, особенно когда характерные размеры неровностей одного порядка с длиной волны, большое значение имеет диффузное рассеяние света на поверхности.

При падении на плоскую границу различают две поляризации света. s-Поляризация — это поляризация света, для которой напряжённость электрического поля электромагнитной волны перпендикулярна плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч). p-Поляризация — поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

Формулы Френеля для s-поляризации и p-поляризации различаются. Поскольку свет с разными поляризациями по-разному отражается от поверхности, то отражённый свет всегда частично поляризован, даже если падающий свет неполяризован. Угол падения, при котором отражённый луч полностью поляризован, называется углом Брюстера; он зависит от отношения показателей преломления сред, образующих границу раздела.

s-Поляризация

$S = \frac{2n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_i +n_2\cos\theta_t}P, \qquad Q = \frac{n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i +n_2\cos\theta_t}P,$

где θ_i — угол падения, θ_t — угол преломления, n₁ — показатель преломления среды, из которой падает волна, n₂ — показатель преломления среды, в которую волна проходит, P — амплитуда волны, которая падает на границу раздела, Q — амплитуда отражённой волны, S — амплитуда преломлённой волны.

Углы падения и преломления связаны между собой законом Снеллиуса

$\frac{\sin\theta_i}{\sin\theta_t} = \frac{n_2}{n_1}.$

Отношение n = n₂ / n₁ называется относительным показателем преломления двух сред.

Коэффициент отражения

$R_s = \frac{|Q|^2}{|P|^2} = \frac{\sin^2(\theta_i -\theta_t)}{\sin^2(\theta_i + \theta_t)}.$

Коэффициент прохождения

$T_s = \frac{|S|^2}{|P|^2} = \frac{\sin2\theta_i \sin2\theta_t}{\sin^2(\theta_i + \theta_t)}.$

p-Поляризация

$S = \frac{2n_1\cos\theta_i}{n_2\cos\theta_i +n_1\cos\theta_t}P, \qquad Q = \frac{n_2\cos\theta_i-n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i +n_1\cos\theta_t}P,$

где P, Q и S — амплитуды волны, которая падает на границу раздела, отражённой волны и преломлённой волны, соответственно.

Коэффициент отражения

$R_p = \frac{\text{tg}^2(\theta_i -\theta_t)}{\text{tg}^2(\theta_i + \theta_t)}.$

Коэффициент прохождения

$T_p = \frac{\sin2\theta_i \sin2\theta_t}{\sin^2(\theta_i + \theta_t)\cos^2(\theta_i - \theta_t)}.$

Нормальное падение

В важном частном случае нормального падения света исчезает разница в коэффициентах отражения и прохождения для p- и s-поляризованных волн. Для нормального падения

$R_s = \left| \frac{n-1}{n+1}\right|^2,$

$T_s = \frac{4n}{(n+1)^2}.$

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 3-е, стереотипное. — М.: Физматлит, МФТИ, 2002. — Т. IV. Оптика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0228-1
• Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — «Наука», 1973.
• Колоколов А. А. Формулы Френеля и принцип причинности // УФН. — 1999. — Т. 169. — С. 1025.