Уравнения

Уравне́ние — равенство вида $f(x, \dots) = g(x, \dots)$ или $f(x, \dots) = 0$, где f и g — функции (в общем случае — векторные) одного или нескольких аргументов, а также задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

Аргументы заданых функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».

Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.

Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают.

Примеры уравнений

• x = 1
• $\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$
• e^{x + y} = x + y
• aⁿ + bⁿ = cⁿ, где a,b,c,n — натуральные числа.

Свойства

Если уравнение задано на множестве [[Вещественное чис== Свойства == Если уравнение задано на множестве вещественных чисел, то любое из следующих преобразований приведёт заданое уравнение к равносильному: [Вещественприбавить

1. К обеим частям уравнения можно прибавить любое число.
2. Из обеих частей уравнения можно вычесть любое число.
3. Обе части уравнения можно умножить на любое число, кроме нуля.
4. Обе части уравнения можно разделить на любое число, кроме нуля.

К обпреобразование не всегда является равносильным. ло|вещественных чисел]], то любое из следующих преобразований приведёт заданое уравнение к равносильному:

1. К обеим частям уравнения можно прибавить любое число.
2. Из обеих частей уравнения можно вычесть любое число.
3. Обе части уравнения можно умножить на любое число, кроме нуля.
4. Обе части уравнения можно разделить на любое число, кроме нуля.

К обеим частям уравнения можно применить любую функцию, но это может привести к появлению сторонних корней, поэтому такое преобразование не всегда является равносильным. γПолужирное начертание²

См. также

• Линейное уравнение
• Квадратное уравнение
• Кубическое уравнение
• Возвратное уравнение
• Диофантово уравнение
• Алгебраическое уравнение
• Трансцендентное уравнение
• Функциональное уравнение
• Дифференциальное уравнение
• Уравнение (неравенство) с параметрами
• Метод одной касательной
• Химическое уравнение
• Система уравнений

Ссылки

• EqWorld — Мир математических уравнений. Содержит обширную информацию о математических уравнениях и системах уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных, функциональных и др.).