Рекурсивный фильтр

Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (Рекурсивный фильтр, БИХ-фильтр) — линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образует обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид. Такие фильтры могут быть как аналоговыми так и цифровыми.

Примерами БИХ-фильтров являются фильтр Чебышева, фильтр Баттерворта и фильтр Бесселя.

Описание

Динамические характеристики

Разностное уравнение, описывающее дискретный БИХ-фильтр, устанавливает связь между входным и выходным сигналами во временной области:

$y(n) = b_{0} x(n) + b_{1} x(n-1) + \cdots + b_{P} x(n-P) - a_{1} y(n-1) - a_{2} y(n-2) - \cdots - a_{Q} y(n-Q)$

где P порядок входного сигнала, b_i — коэффициенты входного сигнала, Q — порядок обратной связи, a_i — коэффициенты обратной связи, x(n) — входной, а y(n) — выходной сигналы. Более компактная запись разностного уравнения:

$y(n) = \sum_{i=0}^P b_{i}x(n-i) - \sum_{k=1}^Q a_{k} y(n-k)$

Для того, чтобы найти ядро фильтра, положим

x(n) = δ(n)

где δ(n) — дельта-функция. Тогда импульсная переходная функция (ядро фильтра) записывается как

$h(n)=\sum_{i=0}^P b_{i}\delta(n-i) + \sum_{k=1}^Q a_{k} h(n-k)$

Z-преобразование импульсной переходной функции даёт передаточную функцию БИХ-фильтра:

$H(z)= \frac{\sum_{i=0}^P b_{i} z^{-i}}{1+\sum_{k=1}^Q a_{k} z^{-k}}$

Свойства

Топология

Сравнение с КИХ-фильтрами

Проектирование БИХ-фильтров

Устойчивость

Пример

См. также

• Электронный фильтр
• Фильтр с конечной импульсной характеристикой

Ссылки

• The fifth module of the BORES Signal Processing DSP course — Introduction to DSP(англ.)
• Проектирование цифровых фильтров