Регулярное распределение

Регуля́рное семе́йство распределе́ний в математической статистике - это распределения, плотность которых дифференцируема относительно параметра.

Определение

Пусть дано параметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений $\{\mathbb{P}_{\theta}\}_{\theta \in \Theta}$, где $\Theta \subset \mathbb{R}$, так что $f(x \mid \theta )$ - плотность вероятности $\mathbb{P}_{\theta}$ для каждого $\theta \in \Theta$. Тогда это семейство называется регулярным, если существует такое множество $D \subset \mathbb{R}$, что $\mathbb{P}_{\theta}(D) = 1,\quad \forall \theta \in \Theta$, и

$\forall x \in {D},\quad \sqrt{f(x \mid \cdot)} \in C^1(\Theta)$,

то есть $\sqrt{f(x \mid \cdot)}$ непрерывно дифференцируема относительно параметра $\theta \in \Theta$.

Примеры

• Пусть Θ = {θ > 0}, и $\mathbb{P}_{\theta} = \mathrm{Exp}(\theta)$ - экспоненциальное распределение с параметром θ. Тогда

$\frac{\partial}{\partial \theta}\sqrt{f(x\mid \theta)} = \left(\frac{1}{2\sqrt{\theta}} - \frac{\sqrt{\theta}x}{2}\right) e^{-\theta x/2} \in C(\Theta).$

Следовательно семейство распределений регулярно.

• Пусть Θ = {θ > 0}, и $\mathbb{P}_{\theta} = \mathrm{U}[0,\theta]$ - непрерывное равномерное распределение на отрезке [0,θ]. Тогда легко видеть, что $D \supset [0,\infty)$, и $f(x \mid \cdot)$ разрывна в точке θ = x. Таким образом семейство распределений нерегулярно.