Припаивающая форма

Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.

Определение

Тангенциальнозначной формой на многообразии M называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:

$\omega\colon M \to \left(\wedge^k T^*M\right) \otimes_{M} TM$

$\pi \circ \omega = \imath d$

Операции

• Внутреннее дифференицрование
• Внешнее дифференцирование

Производная Ли

Частым случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля T по векторному полю X определяется стандартным образом:

$L_X T = \frac{d}{dt} g^t T$

где g^t — фазовый поток, соответствующий векторному полю X. Эта операция связана с внутренним умножением $\imath_X$ дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:

$L_X = \imath_X d + d \imath_X$

то есть

$L_X = [\imath_X, d]$

где $[\cdot,\cdot]$ — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы K производная Ли определяется по аналогии:

$L_K = [\imath_K, d]$

Свойства

• [L_K,d] = 0

F-N скобки

Скобки Frölicher-Nijenhuis (F-N скобки) $[\cdot,\cdot]$ двух тангенциальнозначных форм K и F определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма [K,F], для которой

[L_K,L_F] = L([K,F])

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби.

N-R скобки

Скобки Nijenhuis-Richardson (N-R скобки, алгебраические скобки) $[\cdot,\cdot]^\wedge$ двух тангенциальнозначных форм K и F определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма $[K,F]^\wedge$, для которой

$[\imath_K, \imath_F] = \imath([K,F]^\wedge)$

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм $K \in \Omega^{k+1}(M,TM)$, $F \in \Omega^{f+1}(M,TM)$:

$[K, F]^\wedge = \imath_k F - (-1)^{k f} \imath_F K$

Связанные определения

Форма называется припаивающей, если она лежит в $T^*M \otimes TM$.

Литература

• Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — М.: УРСС, 1996. — 224 с.
• Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.