Ограниченное множество


Ограниченное множество

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Содержание

Ограниченное числовое множество

Множество вещественных чисел X \subset \mathbb{R} называется ограниченным сверху, если существует число b, такое что все элементы X не превосходят b:


\exists b \; \forall x \; (x \in X \Rightarrow x \leqslant b)

Множество вещественных чисел X \subset \mathbb{R} называется ограниченным снизу, если существует число b, такое что все элементы X не меньше b: 
\exists b \; \forall x \; (x\in X \Rightarrow x \geqslant b)

Множество X \subset \mathbb{R}, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество X \subset \mathbb{R}, не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примером ограниченного множества является отрезок [a, b] = \{ a \leqslant x \leqslant b\},

неограниченного — множество всех целых чисел \mathbb{Z} = \{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\},
ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч x < 0,
ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч x > 0.

Вариации и обобщения

Ограниченное множество в метрическом пространстве

Пусть (X, \rho) — метрическое пространство. Множество M \subset X называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре B_r(a):


\exists a \in X \; \exists (r > 0) \; \forall x \in X (x \in M \Rightarrow \rho(a, x) < r)

Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным.

В отличие от числовой прямой, в произвольном метрическом пространстве нельзя ввести понятия ограниченного сверху и ограниченного снизу множеств.

Помимо понятия ограниченного множества для произвольного метрического пространства существует более специальное понятие вполне ограниченного множества. В случае числовых множеств это понятие совпадает с понятием ограниченного множества.

Ограниченность в частично упорядоченном множестве

Понятия ограниченного сверху, ограниченного снизу и просто ограниченного множества можно ввести в произвольном частично упорядоченном множестве. Эти определения буквально повторяют соответствующие определения для числовых множеств.

Пусть (P, \leqslant) — частично упорядоченное множество, S \subset P. Множество S называется ограниченным сверху, если


\exists b \; \forall x \; (x \in S \Rightarrow x \leqslant b)

ограниченным снизу, если


\exists b \; \forall x \; (x \in S \Rightarrow x \geqslant b)

Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Ограниченное множество" в других словарях:

  • ОГРАНИЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО — 1) О. м. в метрическом пространстве X(с метрикой ) множество А, диаметр к рого конечен. 2) О. м. в топологич. векторном пространстве Е(над полем k) множество В, к рое поглощается каждой окрестностью нуля U(т. е. существует такое ). М. И.… …   Математическая энциклопедия

  • ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО — в метрическом пространстве то же, что вполне ограниченное подпространство данного метрич. пространства. См. Вполне ограниченное пространство. А. В. Архангельский …   Математическая энциклопедия

  • Ограниченное числовое множество — В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество  множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай… …   Википедия

  • множество — набор комплект — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=4318] множество Одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое… …   Справочник технического переводчика

  • Множество — [set] одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое целое». (Так определял множество основатель теории множеств, известный немецкий… …   Экономико-математический словарь

  • МНОЖЕСТВО —         см. Класс в логике. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983. МНОЖЕСТВО …   Философская энциклопедия

  • Множество (тип данных) — У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Множество тип и структура данных в информатике, является реализацией математического объекта множество. Данные типа множество позволяют хранить ограниченное число значений… …   Википедия

  • ПОЛЯРНОЕ МНОЖЕСТВО — 1) П. м. аналитической функции f(z) комплексных переменных z=(z1,...,zn), п 1, такое множество Рточек нек рой области Dкомплексного пространства С n, что: а) f(z) голоморфна всюду в ; б) f(z) не продолжается аналитически ни в одну точку Р;в) для… …   Математическая энциклопедия

  • генеральное множество (гм) текстов — объектом самого исследования выступает не сам подъязык, а некоторое множество текстов, являющееся в принципе бесконечным или, во всяком случае, открытым. Задается оно описательно, путем характеристики источников данных текстов. Именно они… …   Толковый переводоведческий словарь

  • КОНСТРУКТИВНОЕ ПО ГЁДЕЛЮ МНОЖЕСТВО — множество, возникающее в описанном ниже процессе построения множеств. Пусть X множество и X. Рассмотрим язык 1 й ступени L(R, X), содержащий один 2 местный предикатный символ, обозначающий отношение R, и индивидные константы, обозначающие… …   Математическая энциклопедия

Книги

  • Письма, Екатерина Сиенская. Святая Екатерина Сиенская (1347-1380), итальянская религиозная деятельница и писательница, принадлежит к числу фигур, определяющих облик той эпохи, в которую ей выпаложить. Масштаб личности… Подробнее  Купить за 2820 руб
  • Проблема Борсука, А. М. Райгородский. Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 4 декабря 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9-11 классов. В ней рассказывается об одной из знаменитых задач… Подробнее  Купить за 81 руб
  • Проблема Борсука, А. М. Райгородский. Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 4 декабря 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9-11 классов. В ней рассказывается об одной из знаменитых задач… Подробнее  Купить за 62 грн (только Украина)
Другие книги по запросу «Ограниченное множество» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.