- Ньютона бином
-
Бином Ньютона — это формула
- ,
где — биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.
Содержание
Доказательство
Докажем это равенство, используя метод математической индукции:База индукции: n = 1
(a + b)1 = a + b
Шаг индукции:Пусть утверждение для n верно:
Тогда надо доказать утверждение для n + 1:
Начнём доказательство:
Извлечём из первой суммы слагаемое при k = 0
Извлечём из второй суммы слагаемое при k = n
Теперь сложим преобразованные суммы:
Что и требовалось доказать
Комментарий:
- — одно из тождеств биномиальных коэффициентов
Для ненатуральных степеней
где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты находятся по формуле:
При этом ряд
- .
сходится при .
В частности, при и получается тождество
Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество
именно таким образом впервые полученное Эйлером.
История
Считается, что эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Тем не менее, она была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке. Возможно, её открыл персидский учёный, поэт и философ Омар Хайям.
Исаак Ньютон обобщил формулу для прочих показателей степени.
В художественной литературе
В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.
- В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:
- «Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность».
- Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!».
Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал известный математик В. А. Успенский [1].
См. также
- Формулы сокращённого умножения многочленов — наиболее частые частные случаи бинома Ньютона
- Биномиальное распределение
Wikimedia Foundation. 2010.