Нормальная форма дифференциальных уравнений


Нормальная форма дифференциальных уравнений

Нормальная форма дифференциальных уравнений есть наипростейшая эквивалентная форма исходных уравнений. Нормальная форма получается с помощью специальных замен зависимых и независимых переменных задачи с целью максимального упрощения структуры уравнений. В математике эти замены переменных связаны с инфинитезимальными преобразованиями групп Ли. В физике вопросы, связанные с нормальной формой, получили отражение в теореме Эмми Нётер.

Впервые идея построения нормальной формы уравнений была сформулирована выдающимся французским учёным Анри Пуанкаре в работе о новых методах небесной механики. Основная мысль, высказанная Пуанкаре, состоит в том, чтобы не стараться всеми силами решить исходные уравнения, а найти такую замену переменных, которая привела бы уравнения к простейшему, по возможности, к линейному виду. Используя обратную замену переменных, можно восстановить исходное решение. Ключевой вопрос — всегда ли существует такая взаимооднозначная замена переменных, что её результатом будут линейные уравнения, — решен в общем случае отрицательно. Оказалось, что, если система имеет резонанс в особой точке, то в окрестности этой точки искомой замены нет. Полученные в результате нормализующих преобразований уравнения получили краткое название «нормальная форма».

Примеры нормальных форм

1. Нормальная форма автономной системы дифференциальных уравнений в окрестности «неособой» точки (где задаваемое этой системой векторное поле в фазовом пространстве (x_1, \ldots, x_n) отлично от нуля):

 \frac{dx_1}{dt} = 1, \ \frac{dx_2}{dt} = \cdots = \frac{dx_n}{dt} = 0,


2. Нормальная форма вырожденных уравнений «взрывной неустойчивости»

 \frac{dx}{dt} = x^2

есть исходная форма. Уравнения не сводятся к линейным из-за нулевого собственного значения. Если собственное число — ноль, то резонанс есть всегда.


3. Нормальная форма уравнений линейного осциллятора

 \frac{d^2 x}{dt^2}+ x = 0

представляется парой линейных уравнений для комплексно-сопряженных переменных

 \frac{d z}{dt}+ iz = 0

и

 \frac{d z^*}{dt}- iz^* = 0,

где  z = x +i\frac{d x}{dt} есть нормальная координата.


4. Нормальная форма логистического уравнения с квадратичной нелинейностью

 \frac{d x}{dt}= - x + c x^2

есть следующая линейная форма

 \frac{d y}{dt}= - y.

В том, что  y есть нормальная координата, можно убедиться непосредственной подстановкой

 x = y + \frac{y}{1+c y},

которая получается в результате применения асимптотической процедуры построения нормализующего преобразования.


5. Нормальная форма уравнений нелинейного осциллятора с демпфером

 \frac{d^2 x}{dt^2}+ 2 \epsilon \frac{dx}{dt}+x+f(x) = 0

есть пара линейных комплексно-сопряженных уравнений

 \frac{dz}{dt} - (i\sqrt {1-\epsilon^2}-\epsilon)z = 0

и

 \frac{dz^*}{dt}+ (i\sqrt {1-\epsilon^2}+\epsilon)z^* = 0,

где  z - искомая нормальная координата. Функция f - произвольный степенной ряд по аргументу x, начинающийся с квадратичных членов разложения.


6. Нормальная форма нелинейных уравнений движения в окрестности «седла»

 \frac{d x_1}{dt}=- x_1 + h_1(x_1,x_2);

 \frac{d x_2}{dt}= x_2 + h_1(x_1,x_2),


где  h_1 и  h_2 - произвольные степенные ряды, начинающиеся с квадратичных членов по переменным  x_1 и  x_2, есть пара нелинейных уравнений


 \frac{d y_1}{dt}= - y_1 + y_1 f(y_1 y_2);

 \frac{d y_2}{dt}= y_2 + y_2 g(y_1 y_2),


где f и g — произвольные степенные ряды по единому аргументу y_1 y_2. В данном случае систему не удается привести к линейной нормальной форме из-за наличия резонанса.


7. Нормальная форма уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки (т. е. точки, вблизи которой уравнение не может быть однозначно разрешено относительно производной) — так называемая нормальная форма Чибрарио

 \Bigl(\frac{d y}{dx}\Bigr)^2 = x,

Литература

  • Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
  • Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5.
  • Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, — Наука, Москва, 1979.
  • Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях, — Физматлит, Москва, 1998.
  • Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Мир, Москва, 1970.
  • Ильяшенко Ю. С., Яковенко С. Ю. Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей, — УМН, 1991, 46:1 (277).



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Нормальная форма дифференциальных уравнений" в других словарях:

  • Нормальная форма Чибрарио — нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки. Название предложено В. И. Арнольдом в честь известного итальянского математика Марии Чибрарио, установившей эту… …   Википедия

  • НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА — 1) Н. ф. матрицы A матрица Nзаранее определенного специального вида, получаемая из Ас помощью преобразований определенного типа. В зависимости от рассматриваемого типа преобразований, от области K, к к рой принадлежат коэффициенты А , от вида Аи …   Математическая энциклопедия

  • Нормальная форма матриц — (жорданова)         С каждой квадратной матрицей (См. Матрица) А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.» связан с именем К. Жордана]. На схеме показана… …   Большая советская энциклопедия

  • Нормальная (жорданова) форма матриц — Нормальная (жорданова) форма матриц. С каждой квадратной матрицей связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.»… …   Большая советская энциклопедия

  • Уравнения Максвелла —     Классическая электродинамика …   Википедия

  • Матрица — I Матрица (нем. Matrize, от латинского matrix матка, источник, начало)         в полиграфии,          1) сменный элемент литейной формы с углублённым (иногда фотографическим) изображением буквы или знака, используемый при отливке типографских… …   Большая советская энциклопедия

  • КОЛИЧЕСТВО — филос. категория, отображающая общее в качественно однородных вещах и явлениях. Чтобы выявить в них это общее, необходимо, во первых, установить их однородность, т.е. показать, в каком именно отношении они эквивалентны между собою, во вторых,… …   Философская энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ — уравнение, в к ром неизвестной является функция от одного независимого переменного, причем в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков. Термин дифференциальные уравнения был предложен Г.… …   Математическая энциклопедия

  • Обыкновенное дифференциальное уравнение — Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)  это дифференциальное уравнение вида где   неизвестная функция (возможно, вектор функция, тогда , как правило, тоже вектор функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом… …   Википедия

  • Матрица (в математике) — Матрица в математике, система элементов aij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m n) матрице.… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.