Метод Гаусса — Йордана

Метод Гаусса — Йордана

Метод Гаусса — Жордана используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана[1].

Содержание

Алгоритм

  1. Выбирается первая колонка слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.
  2. Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняется вся первая строка матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
  3. Все элементы первой строки делятся на верхний элемент выбранной колонки.
  4. Из оставшихся строк вычитается первая строка, умноженная на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.
  5. Далее проводим такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
  6. После повторения этой процедуры n − 1 раз получаем верхнюю треугольную матрицу
  7. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
  8. Повторяем предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получаем единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
  9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

Пример

Решим следующую систему уравнений:

\left\{\begin{array}{ccccccl}
a &+& b &+& c &=& 0\\
4a &+& 2b &+& c &=& 1\\
9a &+& 3b &+& c &=& 3 \end{array}\right.

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:


  \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 1 & | & 0 \\
    4 & 2 & 1 & | & 1 \\
    9 & 3 & 1 & | & 3
  \end{pmatrix}

Проведём следующие действия:

  • К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
  • К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:


  \begin{pmatrix}
    1 &\  1 &\  1 & | & 0 \\
    0 & -2 & -3 & | & 1 \\
    0 & -6 & -8 & | & 3
  \end{pmatrix}
  • К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
  • Строку 2 делим на −2

  \begin{pmatrix}
    1 &  1 &  1 & | &\ 0 \\
    0 & 1 & {3 \over 2} & | & -{1 \over 2} \\
    0 & 0 & 1 & | &\ 0
  \end{pmatrix}
  • К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.
  • К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.

  \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 0 & | &\ 0 \\
    0 & 1 & 0 & | & -{1 \over 2} \\
    0 & 0 & 1 & | &\ 0
  \end{pmatrix}
  • К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.

  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 & | &\ {1 \over 2} \\
    0 & 1 & 0 & | & -{1 \over 2} \\
    0 & 0 & 1 & | &\ 0
  \end{pmatrix}

В правом столбце получаем решение:

a = \frac{1}{2} \; ; \ b = -\frac{1}{2} \; ; \ c = 0 .

Ссылки

Примечания

  1. Транскрипция фамилии как «Жордан» является ошибочной, но она общепринята и встречается в большинстве русскоязычных источников.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Метод Гаусса — Йордана" в других словарях:

  • Метод Гаусса — Жордана — используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь… …   Википедия

  • Метод Гаусса-Жордана — используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь… …   Википедия

  • Метод Жордана-Гаусса — Метод Гаусса Жордана используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса.… …   Википедия

  • Метод Жордана — Гаусса — Метод Гаусса Жордана используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса.… …   Википедия

  • Йордан, Вильгельм (геодезист) — У этого термина существуют и другие значения, см. Йордан, Вильгельм. Вильгельм Йордан нем. Wilhelm Jordan …   Википедия

  • Иордан, Вильгельм (геодезист) — Вильгельм Йордан (нем. Wilhelm Jordan; 1 марта 1842, Эльванген  17 апреля 1899, Ганновер)  немецкий геодезист. В 1868 назначен профессором геодезии в Политехникуме в Карлсруэ. В 1873 1874 участвовал в экспедиции Гергарда Рольфса, исследовавшего… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»