Мероморфные функции

Мероморфная функция одного комплексного переменного в области $\Omega\subset \mathbb C$ (или на римановой поверхности Ω) — голоморфная функция f в области $\Omega\backslash\{a_1,\;a_2,\;\ldots\}$, которая в каждой особой точке a_i имеет полюс (таким образом a_i — изолированная точка множества $\{a_1,\;a_2,\;\ldots\}$, не имеющего предельных точек в Ω, и $\lim_{z\to a_i}|f(z)|= \infty$).

Или проще: Функция комплексной переменной называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.

Совокупность M(Ω) всех мероморфных функций на области Ω является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.

Свойства

• Отношение $\varphi/\psi$ любых голоморфных в Ω функций, $\varphi$ и ψ, является мероморфной функцией в Ω.
• Обратно, всякая мероморфная функция в области $\Omega\subset\mathbb C$ (и на некомпактной римановой поверхности Ω) представляется в виде $\varphi/\psi$, где $\varphi$ и ψ голоморфны и не имеют общих нулей в Ω.

Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле M(Ω) совпадает с полем частных кольца голоморфных функций в Ω.

• Всякая мероморфная функция $f\in M(\Omega)$ определяет непрерывное отображение f области Ω в сферу Римана $\mathbb C\cup\{\infty\}$, которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры $\mathbb C\cup\{\infty\}=\mathbb CP^1$.
• Обратно, всякое голоморфное отображение $f:\Omega\to\mathbb C\cup\{\infty\}$, определяет мероморфную функцию f на Ω. При этом множество полюсов f совпадает с дискретным множеством $f^{-1}(\infty)$.

Таким образом, мероморфная функция одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями в сферу Римана.

• На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами $\{a_1,\;a_2,\;\ldots\}$ и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции).
• На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.