Матрица наблюдаемости

В теории управления, наблюдаемость является свойством системы, показывающим, можно ли по выходу полностью восстановить информацию о состояниях системы.

Определения

Система называется наблюдаемой, если на конечном интервале времени по выходу системы в конце этого интервала $y(t1) \in \mathbb{R}^q$ при известном управляющем воздействии $u(t) \in \mathbb{R}^p$ можно определить все начальные компоненты вектора состояния $x(t0) \in \mathbb{R}^n$'.

Соответственно наблюдаемыми состояниями системы являются те компоненты вектора состояния, которые можно восстановить по условиям, приведённым выше.

Более формально можно сказать, что наблюдаемость позволяет по выходу системы судить о процессах, происходящих внутри неё. Ввиду того, что состояния системы играют важную роль в управлении с помощью обратных связей, важно, чтобы они были наблюдаемыми.

Критерий наблюдаемости

Для линейных систем существует критерий наблюдаемости в пространстве состояний.

Пусть существует система порядка $n \!$ (с $n \!$ компонентами вектора состояния), $p\!$ входами и $q\!$ выходами, записанная в виде:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)$

где

$x(t) \in \mathbb{R}^n$; $y(t) \in \mathbb{R}^q$; $u(t) \in \mathbb{R}^p$;

$\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n$, $\operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p$, $\operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n$, $\operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p$, $\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}$.

здесь $x(\cdot)$ — «вектор состояния», $y(\cdot)$ — «вектор выхода», $u(\cdot)$ — «вектор входа», $A(\cdot)$ — «матрица системы», $B(\cdot)$ — «матрица входа», $C(\cdot)$ — «матрица управления», $D(\cdot)$ — «сквозная матрица».

Для неё можно составить матрицу наблюдаемости:

$\begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}$

Согласно критерию наблюдаемости если ранг матрицы наблюдаемости равен $n\!$, система является наблюдаемой.

См. также

• Управляемость

Внешние ссылки

• Лекции по теории автоматического управления