Хирургия (топология)

Хирургия или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.

Конструкция

Пусть V — гладкое n-мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена (k − 1)-мерная сфера S^{k − 1}. Предположим, что нормальное расслоение сферы S^{k − 1} в многообразии V тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность T сферы S^{k − 1} в V разлагается в прямое произведение $T=S^{k-1}\times D^{n-k+1}$, где D^{n − k + 1} — диск размерности n − k + 1. Выбрав такое разложение, вырежем из V внутренность окрестности T. Получится многообразие, край которого разложен в произведение $S^{k-1}\times S^{n-k}$ сфер. Точно такой же край имеет многообразие $D^{k}\times S^{n-k}$. Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения снова получим многообразие V' без края, которое и называется результатом хирургии многообразия V вдоль сферы S^{k − 1}.

Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности T сферы S^{k − 1} в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы S^{k − 1} в многообразии V, при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия V'.

Число k называется индексом хирургии, а пара (k,n − k + 1) её типом. Если V' получается из V хирургией типа (i,j), то V получается из V' хирургией типа (j,i). При k = 0 многообразие V' является дизъюнктным объединением многообразия V (которое может быть в этом случае пустым) и сферы Sⁿ.

Примеры

• При V = S² и k = 2 в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при k = 1 — тор.
• При V = S³ и k = 2 получается произведение $S^1\times S^2$.
• Случай V = S³ и k = 1 сложнее: если сфера S¹ вложена в S³ стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы S¹, то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.

Свойства

Если V является краем (n + 1)-мерного многообразия M, то V' будет краем многообразия M', полученного из M приклеиванием ручки индекса k. В частности, если f — гладкая функция на многообразии M и a < b — такие числа, что множество f ^{− 1}([a,b]) компактно и содержит единственную критическую точку p, которая невырождена, то многообразие V_b = f ^{− 1}(b) получается из многообразия V_a = f ^{− 1}(a) хирургией индекса k, где k — индекс Морса критической точки p. Более общим образом, любая перестройка V' многообразия V индекса k определяет некоторый бордизм (W;V,V'), и на триаде (W;V,V') существует функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса k, причем любой бордизм (W;V,V'), на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом. Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.

При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.

Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения $f:M \to X$ замкнутого многообразия M в клеточное пространство X существуют такой бордизм (W;M,N) и такое отображение $F:W \to X$, что F | _M = f, а $F|_N :\to X$ является гомотопической эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов $f^*:\pi_k(M)\to \pi_k(X)$ (где π_k — гомотопические группы). Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической K-теории.

Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно линейных и топологических многообразий.