Логарифмическая производная

Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.

$(\ln f)' = \frac{f'}{f}$

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложно-показательных.

Применение

Производная сложно-показательной функции

Пусть $~f(x)=u(x)^{g(x)}$ (для краткости $~f=u^{g}$, где u и g - функции).

Тогда $~\ln f = \ln u^g =g\ln u$, а $~(\ln f)' = (g\ln u)'=g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u}$. С другой стороны, $(\ln f)' = \frac{f'}{f}$, т.е. $f' = f\cdot(\ln f)'$.

Окончательно имеем $(u^g)' = u^g(g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u})$

Производная произведения функций

Пусть задана функция $~f(x) = \prod^{n}_{i=1} g_i(x)$ (для краткости $~f = \prod^{n}_{i=1} g_i$).

Так как $~f' = f\cdot(\ln f)'= \prod^{n}_{i=1} g_i (\ln \prod^{n}_{j=1} g_j)' = \prod^{n}_{i=1} g_i (\sum^{n}_{j=1} \ln g_j)' = \prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} (\ln g_j)'=\prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}$.

Окончательно получаем: $~f' = (\prod^{n}_{i=1} g_i)'=\prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}=f\cdot\sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}$.

Можно расписать формулу и прийти к другой форме:

Если $~f = g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n$, то $~f' = g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n\cdot \left ( \frac{g_1'}{g_1}+\frac{g_2'}{g_2}+\ldots+\frac{g_n'}{g_n} \right )$

Раскрыв скобки, получим: $~f' = g_1'\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n + g_1\cdot g_2'\cdot \ldots\cdot g_n + \ldots + g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n'$

В частности, если $~f=\frac{u_1^{\alpha_1}\cdot u_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot u_m^{\alpha_m}}{v_1^{\beta_1}\cdot v_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot v_n^{\beta_n}}$, то $~f'=\frac{u_1^{\alpha_1}\cdot u_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot u_m^{\alpha_m}}{v_1^{\beta_1}\cdot v_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot v_n^{\beta_n}}\cdot \left( \alpha_1\cdot\frac{u_1'}{u_1}+\alpha_2\cdot\frac{u_2'}{u_2}+\ldots+\alpha_m\cdot\frac{u_m'}{u_m} - \beta_1\cdot\frac{v_1'}{v_1}-\beta_2\cdot\frac{v_2'}{v_2}-\ldots-\beta_n\cdot\frac{v_n'}{v_n} \right)$

Пример

Найдем производную, $\frac{df}{dx}$ от функции $f(x) = x^x$:

$\frac{df}{dx} = f(\ln f)' = x^x(x \ln x)' = x^x(\ln x + 1)$

См. также

• Производная