- Лист Декартов
-
Декартов лист — плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе x3 + y3 = 3axy. Параметр 3a определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.
Содержание
История
Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где x и y принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).
В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.
Уравнения
- В прямоугольной системе по определению:
- .
- Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
- , где .
Часто рассматривают повёрнутую на кривую. Её уравнения выглядят так:
- В прямоугольной системе:
- , где
- Параметрическое:
- В полярных координатах:
Вывод уравнений повёрнутой кривой Систему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол и переориентацией оси OX в противоположном направлении: Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так:
- , или
- ,
После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду:
- .
Вводим параметр , последнее уравнение перепишется так:
или
- .
Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат:
Подставив в уравнение предыдущее , получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат:
- .
Решая данное выражение относительно ρ, получаем:
- .
Свойства
- Прямая OA — ось симметрии, её уравнение: y = x.
- Точка A называется вершиной, её координаты .
- Для обеих ветвей существует асимптота UV, её уравнение: x + y + a = 0.
Вывод уравнения асимптоты Для повёрнутого декатрового листа: При y = 0 имеем
- x = 0 или ,
Рассматриваем второй случай: l + x = 0, то есть, x = − l, то есть , значит .
Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:
- l − 3x = 0, следовательно, .
После поворота осей на получаем окончательное уравнение
- x + y + a = 0
- Площадь области между дугами ACO и ABO
Нахождение площади S1 Площадь S1, заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так: - , где .
Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки:
- .
Пределы интегрирования:
Интеграл преобразуется к виду:
или
Первый интеграл из этого уравнения:
- .
Подстановка:
- .
Пределы интегрирования:
- .
Интеграл преобразуется к виду:
- .
Второй интеграл:Подстановка:
- .
Пределы интегрирования:
- .
Интеграл преобразуется к виду:
- .
Итак:
- .
Площадь S1 равна
- .
- Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли .
Нахождение площади S2 Площадь S2, заключённая между ветвями кривой и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь S1; интеграл берётся в пределах от 0 до . Этот интеграл вычисляется также, как и в предыдущем случае.
- , то есть, площади S1 и S2 равны между собой.
- Объём тела, образованного при вращении дуги ACO вокруг оси абсцисс
Нахождение объёма вращения Объём (V1) тела, образованного при вращении дуги ACO вокруг оси абсцисс, расчитывается так: - .
Итак:
- .
Объём (V2) тела, образаванного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от 0 до . Этот интеграл равен бесконечности, то есть
- .
Исследование кривой
При y = 0 имеем x = 0 или , или , то есть .
Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:
- .
Производная
Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:
- .
Приравниваем производную y' нулю и решаем, полученное уравнение, относительно x. Получим: . При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге ACO — точка C и минимум на нижней дуге ABO — точка B. Значение функции в этих точках равно:
- .
Значение производной y’ в точке O равно , то есть касательные в точке O взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом .
Wikimedia Foundation. 2010.