Линейные отображения

Линейные отображения

Лине́йным отображе́нием (лине́йным опера́тором) векторного пространства LK над полем K в векторное пространство MK (над тем же полем K) называется отображение

f\colon L_K\to M_K,

удовлетворяющее условию линейности

fx + βy) = αf(x) + βf(y).

для всех x,y\in L_K и \alpha,\beta\in K.

Содержание

Важные частные случаи

  • Линейный функционал — линейный оператор, для которого M = K:
        f\colon L_K\to K
  • Эндоморфизм — линейный оператор, для которого L = M:
        f\colon L_K\to L_K
  • Тождественный оператор — оператор x \mapsto x, отображающий каждый элемент пространства в себя.
  • Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент LK в нулевой элемент MK.
  • Сопряжённый оператор к оператору A \in L(V) — оператор A * на V * , заданный соотношением (A * f,x): = (f,Ax).
  • Эрмитов (самосопряжённый) оператор — оператор, совпадающий со своим сопряженным оператором. В случае евклидова пространства такой оператор называют еще симметричным.

Связанные понятия

  • Ядром линейного отображения f\colon A\to B называются подмножество A, которое отображается в нуль:
    \mbox{Ker}\,f = \{ x\in A\mid f(x) = 0 \}
Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве A.
  • Образом линейного отображения f называется следующее подмножество B:
    \mbox{Im}\,f = \{ f(x)\in B\mid x \in A \}
Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве B.
  • Отображение f\colon A\times B \to C прямого произведения линейных пространств A и B в линейное пространство C называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств f\colon A_1\times\dots\times A_n \to B называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.
  • Оператор \tilde L называется линейным неоднородным, если он имеет вид
    \tilde L = L + v
где L — линейный оператор, а v — вектор.

Примеры

Примеры линейных однородных операторов:

  • оператор дифференцирования: L\{x(\cdot)\}=y(t)=\frac{dx(t)}{dt};
  • оператор интегрирования: y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau;
  • оператор умножения на определённую функцию \varphi(t)\colon y(t)=\varphi(t)x(t);
  • оператор интегрирования с заданным «весом» \varphi(t)\colon y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau){\varphi}(\tau)\,d\tau
  • оператор взятия значения функции f в конкретной точке x0: L{f} = f(x0);
  • оператор умножения вектора на матрицу: b = Ax.

Примеры линейных неоднородных операторов:

где \varphi(t), \varphi_1(t), \varphi_2(t) — вполне определённые функции, а x(t) — преобразуемая оператором функция.


См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Линейные отображения" в других словарях:

  • Линейные операторы — Линейным отображением (линейным оператором) векторного пространства LK над полем K в векторное пространство MK (над тем же полем K) называется отображение , удовлетворяющее условию линейности f(αx + βy) = αf(x) + βf(y). для всех и …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ — нахождение дифференциала или, иначе, главной линейной части отображения. Нахождение дифференциала, т. е. аппроксимация отображения в окрестности нек рой точки линейными отображениями, является важнейшей операцией дифференциального исчисления.… …   Математическая энциклопедия

  • Функциональный анализ (математ.) — Функциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов… …   Большая советская энциклопедия

  • Функциональный анализ — I Функциональный анализ         часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… …   Большая советская энциклопедия

  • Нормированное векторное пространство — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. В нашем пространстве понятие «длина вектора» понимается интуитивно как расстояние между его началом и концом. Наиболее важными свойствами «длины вектора» являются следующие: Длина… …   Википедия

  • Линейное нормированное пространство — В евклидовом пространстве понятие «длина вектора» понимается интуитивно как расстояние между его началом и концом. Наиболее важными свойствами «длины вектора» являются следующие: Длина нуль вектора, , равна нулю; длина любого другого вектора… …   Википедия

  • Нормированное пространство — В трёхмерном пространстве понятие «длина вектора» понимается интуитивно как расстояние между его началом и концом. Наиболее важными свойствами «длины вектора» являются следующие: Длина нуль вектора, , равна нулю; длина любого другого вектора… …   Википедия

  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, в к ром изучаются векторные (линейные) пространства, линейные операторы (линейные отображения), линейные, билинейные и квадратичные функции (функционалы или формы) на векторных пространствах. Исторически первым разделом Л. а. была …   Математическая энциклопедия

  • Группа Мёбиуса — Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и сфере Римана (чёрная) Содержание 1 Определение 2 Алгебраические свойства …   Википедия

  • Дробно-линейное преобразование — Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и сфере Римана (чёрная) Содержание 1 Определение 2 Алгебраические свойства …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»