Пфаффиан

Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для матриц размера $2n\times 2n$, и в этом случае его степень равна n.

Примеры

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.$

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.$

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -\lambda_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda_n & 0\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.$

Определение

Пусть $\Pi$ обозначает множество всех разбиений множества $\{1, 2,\dots, 2n\}$ на неупорядоченные пары (всего существует $(2n-1)!!$ таких разбиений). Разбиение $\alpha\in \Pi$ может быть записано

$\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}$

где $i_k<j_k$ и $i_1 < i_2 < \cdots < i_n$. Пусть

$\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}$

обозначает соответствующую перестановку, а $\mbox{sgn}(\alpha)$ — знак перестановки $\pi$. Нетрудно видеть, что $\mbox{sgn}(\alpha)$ не зависит от выбора $\pi$.

Пусть $A = \{a_{ij}\}$ обозначает $2n\times 2n$ кососимметричную матрицу. Для разбиения $\alpha$ определим

$A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.$

Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как

$\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.$

Пфаффиан кососимметричной матрицы размера $n\times n$ для нечётного n равен нулю по определению.

Альтернативное определение

Для $2n\times 2n$ кососимметричной матрицы $A = \{a_{ij}\}$ рассмотрим бивектор:

$\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.$

где $\{e_1, e_2, \dots , e_{2n}\}$ есть стандартный базис в $\mathbb R^{2n}$. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

$\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n} = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_{2n},$

где $\omega^{\wedge n}$ обозначает внешнее произведение n копий $\omega$.

Свойства

Для $2n\times 2n$ кососимметричной матрицы $A$ и для произвольной $2n\times 2n$ матрицы $B$:

• $\mbox{Pf}(A)^2 = \det(A)$

• $\mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)$

• $\mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)$

• $\mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)$

• Для блок-диагональной матрицы

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}=\mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2).$

• Для произвольной $n\times n$ матрицы $M$:

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det M.$

История

Термин «пфаффиан» был введён Кэли^[1] и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Примечания

1. ↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics

Литература

• Вялый М. Н. Пфаффианы для задач перечисления // Летняя школа «Современная математика». — 2004.
• Вялый М. Н. Пфаффианы или искусство расставлять знаки… // Математическое Просвещение. — 2005. — № 9.