Пфафиан

Пфаффиан — характеристика кососимметричной матрицы.

Определитель кососимметричной матрицы можно представить как квадрат некоторого многочлена от элементов матрицы. Этот многочлен называется пфаффиан. Как и определитель, пфаффиан не обнуляется только для $2n\times 2n$ кососимметричных матриц и в этом случае является многочленом степени n от элементов матрицы.

Примеры

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.$

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.$

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix} \end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.$

Стандартное определение

Пусть Π обозначает множество всех разбиений $\{1, 2,\dots, 2n\}$ на неупорядоченные пары (всего существует (2n − 1)!! таких разбиений). Разбиение $\alpha\in \Pi$, может быть записано

$\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}$

где i_k < j_k и $i_1 &amp;lt; i_2 &amp;lt; \cdots &amp;lt; i_n$. Пусть

$\pi=\begin{bmatrix} 1 &amp;amp; 2 &amp;amp; 3 &amp;amp; 4 &amp;amp; \cdots &amp;amp; 2n \\ i_1 &amp;amp; j_1 &amp;amp; i_2 &amp;amp; j_2 &amp;amp; \cdots &amp;amp; j_{n} \end{bmatrix}$

обозначает соответственную перестановку, определим знак sgn(α) как знак перестановки sgn(π). Нетрудно видеть что sgn(α) не зависит от выбора π.

Пусть A = {a_ij} обозначает $2n\times 2n$ кососимметричную матрицу. Для разбиения α определим

$A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.$

Теперь можно определить пфаффиан A как

$\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.$

Пфаффиан $n\times n$ кососимметричной матрицы для нечётного n является нулём по определению.

Альтернативное определение

Для $2n\times 2n$ кососимметричной матрицы A = {a_ij} рассмотрим бивектор:

$\omega=\sum_{i&amp;lt;j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.$

где $\{e_1, e_2, \dots , e_{2n}\}$ есть стандартный базис в $\mathbb R^{2n}$. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

$\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n} = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_{2n},$

где $\omega^{\wedge n}$ обозначает внешнее произведение n копий ω.

Свойства

Для $2n\times 2n$ кососимметричной матрицы A и для произвольной $2n\times 2n$ матрицы B:

• Pf(A)² = det(A)

• Pf(BAB^T) = det(B)Pf(A)

• Pf(λA) = λⁿPf(A)

• Pf(A^T) = ( - 1)ⁿPf(A)

• Для блок-диагональной матрицы

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} A_1 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; A_2 \end{bmatrix}=\mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2).$

• Для произвольной $n\times n$ матрицы M:

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 &amp;amp; M \\ -M^T &amp;amp; 0 \end{bmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det M.$

История

Термин «пфаффиан» был введён Кэли и назван в честь немецкого математика Йохана Фридриха Пфаффа (нем.).

Литература

• М. Н. Вялый, Пфаффианы или искусство расставлять знаки... — Сборник «Математическое Просвещение» Выпуск 9 (2005 год)