Пфафиан

Пфафиан

Пфаффиан — характеристика кососимметричной матрицы.

Определитель кососимметричной матрицы можно представить как квадрат некоторого многочлена от элементов матрицы. Этот многочлен называется пфаффиан. Как и определитель, пфаффиан не обнуляется только для 2n\times 2n кососимметричных матриц и в этом случае является многочленом степени n от элементов матрицы.

Содержание

Примеры

\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  0 & a \\ -a & 0  \end{bmatrix}=a.
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}    0     & a & b & c \\ -a & 0        & d & e  \\   -b      &  -d       & 0& f    \\-c &  -e      & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} &  0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} &  & 0 \\
\vdots &  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix}
\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.


Стандартное определение

Пусть Π обозначает множество всех разбиений \{1, 2,\dots, 2n\} на неупорядоченные пары (всего существует (2n − 1)!! таких разбиений). Разбиение \alpha\in \Pi, может быть записано

\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}

где ik < jk и i_1 &amp;lt; i_2 &amp;lt; \cdots &amp;lt; i_n. Пусть

\pi=\begin{bmatrix} 1 &amp;amp; 2 &amp;amp; 3 &amp;amp; 4 &amp;amp; \cdots &amp;amp; 2n \\ i_1 &amp;amp; j_1 &amp;amp; i_2 &amp;amp; j_2 &amp;amp; \cdots &amp;amp; j_{n} \end{bmatrix}

обозначает соответственную перестановку, определим знак sgn(α) как знак перестановки sgn(π). Нетрудно видеть что sgn(α) не зависит от выбора π.

Пусть A = {aij} обозначает 2n\times 2n кососимметричную матрицу. Для разбиения α определим

 A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.

Теперь можно определить пфаффиан A как

\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.

Пфаффиан n\times n кососимметричной матрицы для нечётного n является нулём по определению.

Альтернативное определение

Для 2n\times 2n кососимметричной матрицы A = {aij} рассмотрим бивектор:

\omega=\sum_{i&amp;lt;j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.

где \{e_1, e_2, \dots , e_{2n}\} есть стандартный базис в \mathbb R^{2n}. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n} = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_{2n},

где \omega^{\wedge n} обозначает внешнее произведение n копий ω.

Свойства

Для 2n\times 2n кососимметричной матрицы A и для произвольной 2n\times 2n матрицы B:

  • Pf(A)2 = det(A)
  • Pf(BABT) = det(B)Pf(A)
  • Pf(λA) = λnPf(A)
  • Pf(AT) = ( - 1)nPf(A)
  • Для блок-диагональной матрицы
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  A_1 &amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp; A_2 \end{bmatrix}=\mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2).
  • Для произвольной n\times n матрицы M:
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  0 &amp;amp; M \\ -M^T &amp;amp; 0  \end{bmatrix} = 
(-1)^{n(n-1)/2}\det M.

История

Термин «пфаффиан» был введён Кэли и назван в честь немецкого математика Йохана Фридриха Пфаффа (нем.).

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»