- Результант
-
В математике, результантом двух многочленов
и
над некоторым полем
, старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение
иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля
с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов
и
(лежащих, быть может, вне поля
), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов
и
. Для многочленов, старшие коэффициенты которых (
и
соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на
Свойства и способы вычисления
- Основным свойством результанта (и его основным применением) является следующее: результант — многочлен от коэффициентов
и
, равный нулю в том и только в том случае, когда у многочленов
и
имеется общий корень (возможно, в некотором расширении поля
).
- Результант может быть найден как определитель матрицы Сильвестра.
- Дискриминант — это, с точностью до знака, результант многочлена и его производной, поделённый на старший коэффициент многочлена; тем самым, дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда у многочлена есть кратные корни.
- Для сепарабельного многочлена (в частности, для полей характеристики ноль) результант равен произведению значений одного из многочленов по корням другого (как и раньше, произведение берётся с учётом кратности корней):
Ссылки
Категория:- Многочлены
Wikimedia Foundation. 2010.