Моногенная функция

Функция $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ называется моногенной (или дифференцируемой в смысле комплексного анализа) в точке $z_0 \in \mathbb{C}$, если предел

$\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$

существует и одинаков для приближения $z$ к точке $z_0$ по произвольному пути. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки $z_0 \in \mathbb{C}$, называется голоморфной в этой точке. Функция, моногенная во всех точках некоторой открытой области $D \subset \mathbb{C}$, называется голоморфной в этой области.

Функция называется полигенной, если подобный предел зависит от пути и имеет бесконечно много значений. Можно показать, что комплекснозначная функция может быть либо моногенной, либо полигенной. Случай существования конечного количества различных значений этого предела исключен.

Пример. Функция $f(z)=z$ — моногенная в нуле:

$\lim_{z\to 0}\frac{z-0}{z-0} = 1,$

а функция $f(z)=\overline z$ — полигенная:

$\lim_{z\to 0}\frac{\overline z-0}{z-0} = \lim_{z\to 0} \frac{|z|e^{-i\phi}}{|z|e^{i\phi}} = e^{-2i\phi}.$

См. также

• Голоморфная функция
• Условия Коши — Римана

Литература

• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.