- МОНОГЕННОСТИ МНОЖЕСТВО
- множество всех производных чисел данной функции комплексного переменного в данной точке. Точнее, пусть Е- множество на комплексной плоскости
- неизолированная его точка, f(z)- комплекснозначная функция переменного
. Комплексное число а(собственное или равное
) наз. производным числом функции
в точке
относительно множества Е, если существует последовательность zn ОE со свойствами:
Множество
всех производных чисел функции f в точке
относительно Еназ. множеством моногенности функции f в точке
относительно Е(см. [1]). Множество
состоит из единственной конечной точки атогда и только тогда, когда
- моногенная функция в точке
относительно Еи
. Множество
всегда замкнуто, и для каждого замкнутого множества Арасширенной комплексной плоскости
каждого множества
и каждой конечной неизолированной точки
этого множества найдется такая функция
что
Если
- внутренняя точка Е, то для любой непрерывной в нек-рой окрестности этой точки функции
множество является
замкнутым и связным (континуумом) на
, и обратно, для любого континуума
найдется функция
, непрерывная в нек-рой окрестности
, для к-рой
Если функция
дифференцируема по совокупности действительных переменных
во внутренней точкемно
жества Е, то
представляет собой окружность
(возможно, вырожденную и точку при r=0) с центром
и радиусом
где
- т. н. формальные производные. Верно и обратное: каждая окружность является М. м. для нек-рой функции f, дифференцируемой по ( х, у )в заданной внутренней точке
множества Е.
Если f(z)непрерывна в области G, то почти в каждой точке
множество
есть либо нек-рая окружность
(см. [2]). В общем случае произвольного (необязательно измеримого) множества Ен произвольной (необязательно измеримой) конечной функции
почти в каждой точке
имеет место один из следующих трех случаев:
При этом почти в каждой точке дифференцируемости функции
по совокупности
выполнен случай а), почти же в каждой точке непрерывности функции f(z) - один из первых двух случаев. Каждый из случаев а) - в) в отдельности может реализоваться почти в каждой точке
Лит.:[1] Федоров В. С, "Успехи матем. наук", 1952, т. 7, в. 2, с. 7-16; [2] Трохимчук Ю. Ю., Непрерывные отображения и условия моногенности, М., 1963; [3] Долженко Е. П., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1962, т. 26, с. 347-60.
Е. П. Долженко.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.