Дифференцируемое многообразие

Дифференцируемое многообразие — топологическое пространство, наделенное дифференциальной структурой. Дифференциальные многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, что являются инвариантными относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру. С другой стороны, использование той или иной структуры позволяет исследовать строение самого дифференциального многообразия. Простой пример — выражение характеристических классов через кривизну дифференциального многообразия, наделенного линейной связностью.

Определение

Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки $x \in X$ найдется ее окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства $\R^n$, то X называется локальным евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности n. Пара $(U, \phi)\,$, где $\phi\,$ — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой X в точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор n действительных чисел $(x^1, \ldots, x^n)$, которые называются координатами в карте $(U, \phi)$. Множество карт $\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}, \alpha \in A,$ называется n-мерным $C^k$ — атласом $(0 \leqslant k \leqslant \infty, a)$ многообразия X, если:

• совокупность всех $U_\alpha$ покрывает X, $X = \cup_{\alpha \in A} U_\alpha$
• для любых $\alpha, \beta \in A$ таких, что $U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing$, отображение:

$\phi_{\alpha}^{\beta} = \phi_\beta \circ \phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)$

является дифференцируемым класса $C^k$; $\phi\,$ является отражением, с отличным от нуля якобианом и называется преобразованием координат точки х с карты $(U_\alpha, \phi_\alpha)\,$ в карту $(U_\beta, \phi_\beta)\,.$

Два $C^k$-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует $C^k$-атлас. Совокупность $C^k$-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые $C^k$-структурами, при $1 \leqslant k \leqslant \infty$ — дифференциальными (или гладкими) структурами, при k = a — аналитическими структурами.

Топологическое многообразие X, наделенное $C^k$-структурой, называется $C^k$-многообразием, или дифференцируемым многообразием класса $C^k$.

Комплексные многообразия

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства $\R^n$ более общих пространств $\C^n$ или даже $K^n\,$, где K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае $K = \C$ соответствующая $C^k$-структура, $k \geqslant 1$, непременно оказывается аналитической структурой, и называется комплексно аналитической, или просто комплексной, а соответствующее дифференцируемое многообразие — комплексным многообразием. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней $C^\infty$-структура, и на $C^\infty$-многообразии,$0 \leqslant k \leqslant \infty$, — $C^r$-структура, если $0 \leqslant r \leqslant k$. Наоборот, любое паракомпактное $C^r$-многообразие, $r \geqslant 1$, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что $C^0$-многообразие нельзя наделить $C^1$-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например число θ(n) $C^1$-неизоморфных $C^\infty$-структур на n-мерной сфере равно:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
θ(n)	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Отображение

Пусть $f : X \to Y$ - непрерывное отображение $C^r$-многообразий X, Y; оно называется $C^k$-морфизмом (или $C^k$-отображением, $k \leqslant r$, или отображением класса $C^k$) дифференцируемых многообразий, если для любой пары карт $(U_\alpha, \phi_\alpha)\,$ на X и $(V_\beta, \psi_\beta)\,$ на Y такой, что $f(U_\alpha) \subset V_\beta$ и отображение:

$\psi_\beta \circ f \circ\phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha) \to \psi_\beta (V_\beta)$

принадлежит классу $C^k$. Биективное отображение f, если оно и f^-1 является $C^k$-отображениями, называется $C^k$-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае X и Y и их $C^r$-структуры называются $C^k$-изоморфными.

Подмножества и вложения

Подпространство Y n-мерного $C^k$-многообразия X называется $C^k$ - подмногообразием в размерности m в X, если для произвольной точки $y \in Y$ существуют ее окрестность $V \subset Y$ и карта $(U, \phi)\,$ $C^k$-структуры X, такие, что $V \subset Y$ и $\phi$ индуцирует гомеоморфизм V на пересечении $\phi (U \cap Y)$ с (замкнутым) подпространством $\R^m \subset \R^n$; иными словами, существует карта с координатами $(x^1, \ldots, x^n)$, такая, что $(U \cap Y)$ определяется соотношениями $x^{m+1}=, \ldots,= x^n = 0$.

Отображение $f : X \to Y$ называется $C^k$-вложением, если f(X) является $C^k$-подмногообразием в Y, а $X \to f(X)$ - $C^k$-диффеоморфизм. Любое n-мерное $C^k$-многообразие допускает вложение в $\R^{2n + 1}$, а также в $\R^{2n}.$ Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений $C^k(X,\R^{2n+1})$ относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение дифференцируемых многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путем устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

См. также

• Многообразие
• Замкнутое многообразие
• Карта и атлас
• Диффеоморфизм

Литература

• Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
• Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
• де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
• Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
• Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
• Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
• Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
• Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;