Алгебраическая независимость

Алгебраическая независимость — понятие теории расширений полей.

Пусть $L$ некоторое расширение поля $K$. Элементы $(\alpha_1, \ldots ,\alpha_n)$ называются алгебраически независимыми, если для произвольного не равного тождественно нулю многочлена $P(x_1, \ldots ,x_n)$ коэффициенты в $K$

$P(\alpha_1, \dots ,\alpha_n) \ne 0$.

В другом случае элементы $(\alpha_1, \ldots ,\alpha_n)$ называются алгебраически зависимыми. Бесконечное множество элементов называется алгебраически независимым, если независимым является каждое её конечное подмножество, и называется зависимым в противном случае. Определение алгебраической независимости можно распространить на случай, когда $L$ — кольцо и $K$ — его подкольцо.

Пример

Подмножество $\{ \sqrt {\pi};2\pi +1 \}$ поля вещественных чисел $\R$ не является алгебраически независимым над полем $\Q$, поскольку многочлен $P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1$ является нетривиальным с рациональными коэффициентами и $P(\sqrt {\pi},2\pi +1)=0$.

Ссылки

• Chen, Johnny Algebraically Independent (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.