Уравнения Швингера

Уравне́ния Шви́нгера — система уравнений для функций Грина в квантовой теории поля. Предложена Ю. Швингером в 1951. Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов $A^{\mu} (x)$ с источником внешнего электромагнитного поля $J_{\mu}(x)$ в минимальной форме — $J_{\mu} A^{\mu}$. За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику $J_{\mu} (x)$ получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом $S[J]$ источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):

$\mathcal{A^{\mu}}(x) = \frac{1}{S_0 [J]} \langle 0 \vert T \{ A^{\mu} (x) S[J] \} \vert 0 \rangle = i \frac {\delta \ln S_0 [J]}{\delta J_{\mu} (x)},$

где $S_0[J] \equiv \langle 0 \vert S[J] \vert 0 \rangle, \mu = 0,1,2,3.$ $\langle 0 \vert \cdots \vert 0 \rangle$ — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ $T$ обозначает хронологическое упорядочение операторов, $\frac {\delta}{\delta J_{\mu} (x)},$ — вариационная производная.

В итоге для двухточечной фермионной функции Грина

$G(x,y \vert J) = - \frac{i}{S_0 [J]} \langle 0 \vert T \{ \psi (x) \overline{\psi} (y) S[J] \} \vert 0 \rangle ,$

где $\psi(x)$ — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем уравнение типа уравнения Дирака:

$\left \{ \gamma_{\mu} \left [ \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} - e \mathcal{A^{\mu}}(x) \right ] - m - i e \gamma_{\mu} \frac {\delta}{\delta J_{\mu} (x)} \right \} G(x,y \vert J) = \delta^4 (x - y),$

где $\gamma_{\mu}$ — матрицы Дирака, $e, m$ — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля $\mathcal{A^{\mu}}(x)$ получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току $J$):

$\Box \mathcal{A^{\mu}}(x) = -J_{\mu}(x) + i e \mathrm{Tr}[\gamma_{\mu} G(x,x \vert J)],$

где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам $J_{\mu}(x)$ определить $G(x,y \vert J)$ и $\mathcal{A^{\mu}}(x)$ называются уравнениями Швингера.

Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения

$G^{\mu \nu}(x,y \vert J) = - \frac{\delta A^{\mu} (x)}{\delta J^{\nu} (y)} = - i \frac {\delta^2 \ln S_0 [J]}{\delta J_{\mu} (x) \delta J_{\nu} (y)}.$

Величина $Z[J] \equiv i \ln S_0[J]$ называется производящим функционалом.

Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:

$\Gamma_{\mu} (x, y, z) = - \frac{\delta}{\delta A^{\mu}} G^{-1}(x, y \vert J),$

где $G^{-1}$ — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с уравнениями Дайсона. Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера.

Литература

• Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Глава VI. Приложение общей теории устранения расходимостей // Введение в теорию квантованных полей,. — 4 изд.,. — М.: Наука, 1984. — Т. 4. — С. 389. — 600 с.
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровиков и др. — Советская энциклопедия, 1988. — ISBN 5-85270-034-7