- Теорема об опорной гиперплоскости
-
Теорема об опорной гиперплоскости или теорема о разделяющей гиперплоскости является одним из важных «свойств» выпуклых множеств.
Если заданы замкнутое ограниченное выпуклое множество
и точка
, не принадлежащая множеству
, то существуют такие числа
, что
Геометрически это означает, что через точку
можно провести гиперплоскость так, что множество
будет лежать «выше» этой гиперплоскости.
Доказательство
Пусть
− расстояние между точкой
и точкой
. Так как множество
замкнуто и ограничено, а значит, компактно, то
функция
непрерывна и достигает в некоторой точке
своего минимума.
Пусть
− гиперплоскость, проходящая через точку
и перпендикулярная прямой, соединяющей точки
и
.
Докажем, что ни одна из точек множества
не содержится в гиперплоскости
.
Предположим обратное, т.е., что существует такая точка
, принадлежащая как множеству
, так и гиперплоскости
.
Тогда в двухмерной плоскости, являющейся линейной оболочкой точек
, эти три точки образуют прямоугольный треугольник
с прямым углом в вершине
. При этом точка
является выпуклой комбинацией точек
, так как она находится
внутри отрезка, соединяющего точки
и
. Однако, тогда расстояние от точки
, являющейся основанием перпендикуляра,
опущенного из вершины
на гипотенузу
, до вершины
строго меньше, чем расстояние от вершины
до вершины
, т.е.
.
Следовательно точкане может принадлежать множеству
, так как это предположение противоречит тому, что функция
достигает своего минимума в точке
.
Таким образом, ни одна из точек множества
не содержится в гиперплоскости
. Значит, всё множество
содержится в одном из двух полупространств, определяемых
гиперплоскостью
. Эти полупространства определяются следующими неравенствами:
и
,
где числа
и
являются коэффициентами уравнения гиперплоскости
, задаваемой уравнением:
Теперь, если заменить
на
, т.е. умножить уравнение гиперплоскости
на
, то гиперплоскость останется неизменной, а
полупространства поменяются местами. Следовательно, можно считать, что полупространство, в котором содержится множество
, определяется неравенством:
.
Это доказывает теорему.
Литература
- Дж. фон Нейман. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргинштерн. Пер. с англ. под ред. и с доб. Н.Н. Воробьева. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. - 708 с.
- Дюбин, Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин, В.Г. Суздаль. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 336 с.
- Оуэн, Г. Теория игр. / Г. Оуэн. [пер. с англ.] / Под ред. А.А. Корбута. – М. : Издательство «Мир», 1971. – 229 с.
Категория:- Выпуклая геометрия
Wikimedia Foundation. 2010.