Подобие

У этого термина существуют и другие значения, см. Подобие (значения).

Подобие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек $\ A$, $\ B$ и их образов $\ A'$, $\ B'$ имеет место соотношение $\ |A'B'|=k|AB|$, где $\ k$ — положительное число, называемое коэффициентом подобия.

Примеры

• Каждая гомотетия является подобием.
• Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом $\ k=1$.

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

Связанные определения

• Фигура $F$ называется подобной фигуре $F '$, если существует преобразование подобия, при котором $F\to F'$.
  • Подобие фигур является отношением эквивалентности.

Свойства

• Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
• Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка $\ B$ лежит между точками $\ A$, $\ C$ и $\ B'$, $\ A'$, $\ C'$ — соответствующие их образы при некотором подобии, то $\ B'$ также лежит между точками $\ A'$ и $\ C'$.
• Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
• Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
• При подобии угол сохраняет величину.
• Подобие с коэффициентом $\ k\not=1$, преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом $\ k$ или $\ -k$.
  • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения $\ D$ и некоторой гомотетии $\Gamma$ с положительным коэффициентом.
  • Подобие называется собственным (несобственным), если движение $\ D$ является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
• Два треугольника являются подобными, если
  • их соответственные углы равны, или
  • стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
• Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

Обобщения

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в $\ n$-мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет $\ r$-членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов $\ r$-членная группа подобных преобразований Ли содержит $\ (r-1)$-членную нормальную подгруппу движений.

См. также

• Конгруэнтность (геометрия)
• Конформное отображение
• Признаки подобия треугольников
• Симметрия
• Самоподобие

Ссылки

• Равенство и подобие геометрических фигур