Гомотопические группы

Гомотопи́ческие гру́ппы — одно из основных понятий алгебраической топологии.

Определение

Пусть $X$ — топологическое пространство, $x_0\in X$; $I^n\sub \R^n$ — единичный куб ($I^n=\{(t_1, t_2,\ldots t_n): 0\leqslant t_n\leqslant 1\}$, $\partial I^n$ — граница этого куба, то есть множество точек куба такое, что для некоторого i $t_i$ равен 0 или 1. Множество гомотопических классов $[f]$ непрерывных отображений $f\colon I^n\to X$, для которых $f(\partial I^n)=x_0\in X$ обозначается $\pi_n(X,x_0)$ (причём $\partial I^n$ переходит в точку $x_0$ при всех отображениях и гомотопиях). На этом множестве можно определить умножение элементов следующим образом:

$[f][g]=[f*g]$, где

$f*g(t_1,t_2,\ldots t_n)=f(2t_1,t_2,\ldots t_n)$, если $0\leqslant t_1 \leqslant\frac{1}{2}$

$f*g(t_1,t_2,\ldots t_n)=g(2t_1-1,t_2,\ldots t_n)$, если $\frac{1}{2}\leqslant t_1\leqslant 1$

Так как на границе куба $f=g=x_0$, то умножение определено корректно. Легко проверить, что $[f*g]$ зависит только от гомотопического класса $[f]$ и $[g]$. Это умножение удовлетворяет всем аксиомам группы. В случае $n=1$ мы имеем общеизвестное умножение замкнутых путей и, следовательно, $\pi_1(X,x_0)$ является фундаментальной группой. При n>1 $\pi_n(X,x_0)$ называются высшими гомотопическими группами.

Непрерывному отображению пространств $F\colon(X,x_0)\to(Y,y_0)$ соответствует гомоморфизм $F_*\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(Y,y_0)$, причём это соответствие, как говорят, функториально, то есть произведению непрерывных отображений соответствует произведение гомоморфизмов гомотопических групп $(FG)_*=F_* G_*$, а тождественному отображению соответствует тождественный гомоморфизм $(id)_*=id_*$. Если отображение $F$ гомотопно $G$, то $F_*=G_*$.

Зависимость от начальной точки

В отличие от гомологических групп $H_n(X)$ в определение гомотопических групп $\pi_n(X,x_0)$ входит выделенная точка $x_0$. На самом деле в случае линейно связных пространств эти группы изоморфны, хотя в общем случае канонического изоморфизма не существует.

Абелевость высших гомотопических групп

В то время как фундаментальная группа $\pi_1(X,x_0)$ в общем случае неабелева, для всех n>1 $\pi_n(X,x_0)$ абелевы, то есть $[f][g]=[g][f]$. Наглядное доказательство этого факта можно видеть на следующем рисунке (светло-синие области отображаются в точку $x_0$):

Относительные гомотопические группы и точная гомотопическая последовательность

Относительные гомотопические группы определяются для пространства $X$, его подпространства $A\sub X$ и выделенной точки $x_0\in X$. Пусть $I^n\sub\R^n$ — единичный куб ($I^n=\{(t_1, t_2,\ldots t_n): 0\leqslant t_i\leqslant 1\}$), $\partial I^n$ — граница этого куба, a $I^{n-1}\sub\partial I^n$ — грань куба, определяемая уравнением $t_n=0$. Множество гомотопических классов $[f]$ непрерывных отображений $f\colon I^n\to X$, для которых $f\colon I^{n-1}\to A$ и на остальных гранях $f\colon\partial I^n \setminus \operatorname{Int}(I^{n-1})\to x_0$ обозначается $\pi_n(X,A,x_0)$ (причём $I^{n-1}$ переходит в $A$, а $\partial I^n \setminus \operatorname{Int}(I^{n-1})$ в точку $x_0$ при всех отображениях и гомотопиях).

Точно так же, как и раньше можно доказать что при $n\geqslant 2$ это множество образует группу — относительную гомотопическую группу порядка $n$. Если $n\geqslant 3$ то предыдущий рисунок доказывает, что $\pi_n(X,A,x_0)$ — абелева. (При n=2 доказательство не проходит, так как точки $I^1=\{x:x_2=0\}$ могут переходить в точки $A$, отличные от $x_0$).

Вложение $i\colon(A,x_0)\to(X,x_0)$ индуцирует гомоморфизм $i_*\colon\pi_n(A,x_0)\to\pi_n(X,x_0)$, а вложение $j\colon(X,x_0)\to(X,A,x_0)$ (здесь $(X,x_0)$ следует понимать как $(X,x_0,x_0)$), индуцирует гомоморфизм $j_*\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(X,A,x_0)$. Любой элемент $[f]\in\pi_n(X,A,x_0)$ определяется отображением $f$, которое, в частности, переводит $I^{n-1}$ в $A$, причём на $\partial I^{n-1}$ f тождественно равно $x_0$, определяя элемент из $\pi_{n-1}(A,x_0)$. Таким образом мы получаем отображение $\partial \pi_n(X,A,x_0)\to\pi_{n-1}(A,x_0)$, которое является гомоморфизмом. Мы имеем следующую последовательность групп и гомоморфизмов:
$...{\longrightarrow}\pi_n(A,x_0)\stackrel{i_{*n}}{\longrightarrow}\pi_n(X,x_0)\stackrel{j_{*n}}{\longrightarrow}\pi_n(X,A,x_0)\stackrel{\partial_n}{\longrightarrow}\pi_{n-1}(A,x_0){\longrightarrow}~...$

Эта последовательность является точной, то есть образ любого гомоморфизма совпадает с ядром следующего гомоморфизма. Отсюда в случае, когда $\pi_n(X,x_0)=0$ для всех $n\geqslant 1$, граничный гомоморфизм $\partial\colon\pi_{n+1}(X,A,x_0)\to\pi_n(A,x_0)$ будет изоморфизмом.

История

Фундаментальная группа была введена создателем топологии А. Пуанкаре, высшие гомотопические группы — В. Гуревичем. Несмотря на простоту их определения, вычисление конкретных групп (даже для таких простых пространств, как сферы Sⁿ) часто является очень трудной задачей, причём более-менее общие методы были получены только начиная с середины XX века.

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989