- ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП
топологизированной категории - проективная система топологич. пространств, ассоциированная с топологизированной категорией и позволяющая определять гомотопические группы этой категории, группы гомологии и когомологий со значениями в абелевой группе и т. д.
Рассматриваются только локально связные топологизированные категории
, т. е. такие категории С, снабженные топологией Гротендика
, любой объект к-рых представим в виде копроизведения
неразложимых объектов
играет роль множества связных компонент топологич. пространства. Множество индексов I определено однозначно с точностью до биекции; оно обозначается
. Сопоставление
определяет функтор из категории Св категорию множеств. Произвольное покрытие
объекта Xв топологии
определяет симплициальный объект U. в категории С, для к-рого
и симплициальное множество
. Геометрич. реализация симплициального* множества
дает топологич. пространство
. Для любого измельчения
- покрытия
(
пропускается через
) определено (с точностью до гомотопий) непрерывное отображение
. Таким образом, объекту Xсопоставляется проективная система топологич. пространств
, где
- семейство всех покрытий объекта X.
Это определение аналогично определению когомологий Чеха; известно, однако, что в общем случае когомологий Чеха дают "правильные" когомологий только в размерностях 0 и 1. Поэтому приведенная выше конструкция не может считаться удовлетворительной. В [1] введено понятие гиперпокрытия, обобщающее симплициальные объекты U., построенные выше для покрытий
. Это - снова симплициальный объект K, в топологизированной категории
с финальным объектом X, удовлетворяющий условиям:
- покрытие объекта X;для любого пканонич. морфизм
является покрытием, где
- функтор п- гокоскелета.
Сопоставление каждому гиперпокрытию K, топологич. пространства
приводит к проективной системе пространств, параметризованной гиперпокрытиями.
Это и определяет гомотопический тип (а точнее - прогомотопический тип) топологизированной категории
с финальным объектом X. Группы гомотопий, гомологии и когомологий вводятся стандартным способом.
Г. т. топологизированной категории, ассоциированной со схемой, позволяет определить Г. т. схемы. Наиболее часто рассматривают случай этальной топологии
на схеме X. В этом случае Г. т. схемы Xпредставляет собой прообъект категории пунктированных симплициальных множеств или категории конечных клеточных комплексов. Определяемые для таких объектов гомотопические группы
являются проконечнымн группами и наз. i-ми гомотопическими группами схемы X(см. [2]). Если X - нормальная схема, то
совпадает с фундаментальной группой схемы, определяемой по Гротен-дику [3]. Г. т. точки
где
- поле, совпадает с проективным пределом пространств Эйленберга - Маклейна
где
- группа Галуа конечного расширения Галуа
поля
. В случае алгебраич. многообразий над полем комплексных чисел
имеет место теорема сравнения: группы
являются проконечным пополнением обычных гомотопич. групп
комплексного пространства Х ап, ассоциированного с X.
Лит.:[1] Труды международного конгресса математиков (Москва. 1966), М., 1908, с. 44-56; [2] Theorie des Toposes et coliomologie etale des schimas, t. 1-3, B.-Hdlb.-N.Y.,1974; [3] ArtinM., Mazur В., Etale homotopy, B.-Hdlb.- N. Y., 1969; [41 Сулляван Д., Геометрическая топология, пер. с англ., М., 1975; [5] Revetements etales et groupe fondamental (S6A1), В.-Hdlb.-N.Y., 1971.
В. И. Данилов, И. В. Долгачев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.