Список моментов инерции

Приведён спи́сок моме́нтов ине́рции^{[стиль!]} массивного твёрдого тела различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину². Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений^{[уточнить]}, который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Описание	Изображение	Моменты инерции	Комментарии
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m		$I = m r^2 \,\!$  [1]	Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r1=r2. Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.
Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r1, внешнего радиуса r2, длиной h и массой m		$I_z = \frac{1}{2} m\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)$  [1][2] $I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]$ или при определении нормированной толщины tn = t/r и полагая r = r2, тогда $I_z = mr^2\left(1-t_n+\frac{1}{2}{t_n}^2\right)$	При плотности ρ и той же геометрии: $I_z = \frac{1}{2} \pi\rho h\left({r_2}^4 - {r_1}^4\right)$
Сплошной цилиндр радиуса r, высотой h и массы m		$I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!$  [1] $I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(3r^2+h^2\right)$	Это частный случай предыдущего объекта при r1=0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами)
Тонкий твердый диск радиуса r и массы m		$I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!$ $I_x = I_y = \frac{m r^2}{4}\,\!$	Это частный случай предыдущего объекта при h=0.
Тонкое кольцо радиуса r и массы m		$I_z = m r^2\!$ $I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}\,\!$	Это частный случай тора при b=0 (см. ниже), а также частный случай толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами при r1=r2 и h=0.
Твёрдый шар радиуса r и массы m		$I = \frac{2 m r^2}{5}\,\!$  [1]	Сферу можно представить как множество бесконечно тонких твёрдых дисков, радиус которых изменяется от 0 до r.
Пустотелая сфера радиуса r и массы m		$I = \frac{2 m r^2}{3}\,\!$  [1]	Аналогично твёрдой сфере, пустотелую сферу можно рассматривать как множество бесконечно тонких колец.
Твёрдый эллипсоид с полуосями a, b и c, с осью вращения a и массой m		$I_a = \frac{m (b^2+c^2)}{5}\,\!$	—
Прямоугольный круговой конус радиуса r, высоты h и массы m		$I_z = \frac{3}{10}mr^2 \,\!$  [3] $I_x = I_y = \frac{3}{5}m\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!$  [3]	—
Твёрдый кубоид с высотой h, шириной w, глубиной d и массой m		$I_h = \frac{1}{12} m\left(w^2+d^2\right)$ $I_w = \frac{1}{12} m\left(h^2+d^2\right)$ $I_d = \frac{1}{12} m\left(h^2+w^2\right)$	Для аналогично ориентированного куба с длиной ребра $s$, $I_{CM} = \frac{m s^2}{6}\,\!$.
Твёрдый кубоид с высотой D, шириной W, длиной L, массой m и с осью вращения вдоль самой длинной диагонали.		$I = \frac{m\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2D^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}$	Для куба с длиной ребра $s$, $I = \frac{m s^2}{6}\,\!$.
Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m		$I_c = \frac {m(h^2 + w^2)}{12}\,\!$  [1]	—
Стержень длины L и массы m		$I_{\mathrm{center}} = \frac{m L^2}{12} \,\!$  [1]	Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для w = L и h = 0.
Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m (Ось вращения в конце пластины)		$I_e = \frac {m h^2}{3}+\frac {m w^2}{12}\,\!$	—
Стержень длины L и массы m (Ось вращения на конце стержня)		$I_{\mathrm{end}} = \frac{m L^2}{3} \,\!$  [1]	Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для h = L и w = 0.
Тороидальная труба радиуса a, радиуса сечения b и массы m.		Ось вращения относительно диаметра: $\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)m$  [4] Ось вращения относительно вертикальной оси: $\left(a^2 + \frac{3}{4}b^2\right)m$  [4]	—
Плоскость многоугольника с вершинами $\vec{P}_{1}$, $\vec{P}_{2}$, $\vec{P}_{3}$, ..., $\vec{P}_{N}$ и массой $m$, равномерно распределенной на его объёму, вращающийся относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.		$I=\frac{m}{6}\frac{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|(\vec{P}^{2}_{n+1}+\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n}+\vec{P}_{n}^{2})}{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|}$	—
Бесконечный диск с нормально распределенной вокруг осей вращения массой по двум координатам (т.е. $\rho(x,y) = \tfrac{m}{2\pi ab}\, e^{-((x/a)^2+(y/b)^2)/2}$ где: $\rho(x,y)$ — плотность масс как функция x и y).		$I = m (a^2+b^2) \,\!$
Две точечные массы M и m на расстоянии x друг от друга		$I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2$	$\mu$ — приведённая масса.

См. также

• Теорема Штейнера

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8} Raymond A. Serway Physics for Scientists and Engineers, second ed.. — Saunders College Publishing, 1986. — P. 202. — ISBN 0-03-004534-7
2. ↑ Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder. LivePhysics.com.
3. ↑ ^{1 2} Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr Vector Mechanics for Engineers, fourth ed.. — McGraw-Hill, 1984. — P. 911. — ISBN 0-07-004389-2
4. ↑ ^{1 2} Eric W. Weisstein Moment of Inertia — Ring. Wolfram Research. Архивировано из первоисточника 29 июля 2012.