ШРЁДИНГЕРА ОПЕРАТОРА СПЕКТР

ШРЁДИНГЕРА ОПЕРАТОРА СПЕКТР

-множество собств. значений оператора Шрёдингера (OШ): где - гамильтониан - оператор полной энергии системы (в том случае, когда потенциал не зависит от времени), и -операторы кинетич. и потенц. энергий. В случае локальны сил оператор является ф-цией координат V(r). Ш. о. <с. определяет все свойства квантовых систем и может быть дискретным (энергии связанных состояний- ядер, молекул, атомов и т. д.) и (или) непрерывным (энергии состояний рассеяния, к к-рым относятся и квазистационарные - распадные. резонансные состояния).

Установление связей Ш. о. с. с силами, действующими в квантовых системах,- одна из фундам. задач физики. Наиб, изучено одномерное движение частицы (волны) во внеш. поле. Принципиально разработаны методы воздействия на квантовую систему, к-рые позволяют, изменяя форму потенциала трансформировать Ш. о. с.: поднять или опустить определ. уровень энергии, уничтожить его или породить новый, передвинуть любое состояние в пространстве, преобразовать зонную структуру периодич. поля, т. е. направленно изменить свойства системы. Этим методам отвечают точные решения обратной задачи рассеяния (см. Обратной задачи рассеяния метод), но в то же время возможно наглядное (качественное) рассмотрение, к-рое позволяет без вычислений установить, какова в общих чертах должна быть конфигурация внеш. поля, воздействующего на систему, для достижения желаемого изменения её Ш. о. с.

Чисто дискретный спектр возникает в случае потенц. ям с бесконечно высокими стенками v(x). Для симметрич. ям их форма полностью определяется собств. значениями ОШ - уровнями энергии Для бесконечно глубокой прямоут. ямы в системе единиц h= 1, масса частицы ОШ имеет вид:(см. рис. 7 к ст. Квантовая механика). Рассмотрим, как нужно изменить форму плоского дна прямоуг. потенц. ямы, чтобы сдвинуть осн. уровень энергии вверх, ближе к и как при этом меняется волновая ф-ция осн. состояния (рис. 1). Осн. состояние наиб, чувствительно к изменению в центр, области потенц. ямы, где вероятность обнаружить частицу максимальна, поэтому для сдвига уровня нужно увеличить в этой области (рис. 1, a). Для того чтобы все остальные уровни сохранили своё положение, необходимо подобрать компенсирующее понижение потенциала (ямки) вблизи краёв потенц. ямы, где мала ф-ция Воздействие этих ямок на осн. состояние будет незначительным. Для поднятия первого возбуждённого уровня нужно повысить потенциал в областях обеих пучностей ф-ции (рис. 2), а для сохранения положения остальных уровней энергии - создать 3 ком вверх, пересиливая влияние ямок притяжения вблизи узлов Влияние барьеров и ямок на остальные уровни взаимно компенсируются- они остаются на прежних местах.

Рис. 1. Деформация дна бесконечной прямоугольной потенциальной ямы, необходимая для подъёма основного уровня энергии (а) (штриховые линии - невозмущённые уровни энергии), и соответствующая деформация волновой функции приближающая её по модулю к На рис а виден намечающийся прогиб в центральной области потенциального барьера.

Рис. 2. Возмущения потенциала, вызывающие подъём уровня Увеличение в области максимумов сдвигает пенсирующие ямки в области узлов ф-ции Аналогично можно определить форму возмущений потенциала для подъёма (снижения) (рис. 3) любого уровня энергии.

Качественно так же подбираются возмущения потенциала для сдвига уровней в случае потенц. ям др. вида.

Рис. 3. Возмущение дна бесконечной прямоугольной потенциальной ямы, вызывающее опускание лишь уровня

В общем случае несимметричных одномерных бесконечных потенц. ям в полный набор спектральных параметров, определяющих систему, помимо уровней энергии входят т. н. нормировочные константы (весовые факторы), характеризующие краевое (асимптотич.) поведение нормированных волновых ф-ций. В качестве таких параметров могут служить производные собств. ф-ций у бесконечной стенки ( х = a) прямоуг. ямы или множители М _n при затухающей экспоненте в асимптотич. поведении волновых ф-ций связанных состояний (напр., в осцилляторе):При увеличении (уменьшении)и неизменных остальных спектральных параметрах из полного набора волновая ф-ция сосредоточивается у правой (левой) стенки ямы (рис. 4), а при увеличении (уменьшении)волновая ф-ция осн.

состояния сдвигается вправо (влево) (рис. 5). Аналогичный сдвиг по х волновых ф-ций других квантовых состояний наблюдается при изменении соответствующих им нормировочных констант. В пределах (или ) волновая ф-ция n-го состояния впрессовывается в вертикальную потенциальную стенку, а при (или ) уносится характерной вспомогат. ямкой-переносчиком на бесконечность вправо (влево).

Рис. 4. Изменение формы потенциала (а) и волновой функции основного состояния при увеличении значения модуля производной у правой стенки бесконечной прямоугольной ямы. Основное состояние "сгребается" вправо, все уровни остаются на своих местах, как не меняются и значения для других связанных состояний.

Рис. 5. Близкое к нулю значение M₂ создаёт в возмущённом потенциале узкую вспомогательную ямку, уносящую состояние с энергией на (постепенное "исчезновение" уровня ). Волновые функции состояний с энергиями имеют по одному узлу под барьером, отделяющим ямку от основной ямы. Внутри вспомогательной ямки остаётся последнее колебание с амплитудой, быстро убывающей с расстоянием при удалении от ямки.

Остальные волновые ф-ции, для к-рых нормировочные константы остаются неизменными, несколько трансформируются, но сильно не смещаются. В пределе из спектра исходной системы исключается избранное состояние ( на рис. 6). Сужение новой потенц. ямы по сравнению с исходной сокращает на полколебания все состояния с не меняя их энергии, что эквивалентно сдвигу уровней с вверх так, что уровень занимает место уровня Это соответствует уничтожению уровня Рельеф ниж. части возмущённой ямы (типа изображённой на рис. 3)

обеспечивает неизменность положения уровня , (при сужении ямы форма её дна компенсирует тенденцию к сдвигу ). Основное же состояние i менее чувствительно к сужению верх, части ямы, и соответствующее слабое возмущение потенциала мало сказывается на форме ниж. части потенц. кривой на рис. 6. Рассмотренные элементарные трансформации Ш. о. с. можно комбинировать.

Рис. 6. Изменение формы потенциальной ямы необходимое для уничтожения уровня (пунктир). Сужение ямы вызвано сокращением числа колебаний собственных функций состояний, расположенных выше ликвидированного уровня. Форма дна ямы обеспечивает неизменность положения уровней (в основном опускает уровень поднимающийся при сужении ямы).

Спектральные параметры связанных состояний квантовой системы при наличии у неё кроме дискретного и непрерывного спектра изменяют аналогичным образом. Рис. 7, относящийся к описанию квазистационарных состояний, демонстрирует, как трансформируется прямоуг. яма конечной глубины при увеличении вспомогат. ямка соли-тонообразной формы "уносит" состояние с энергией Безотражательность этой ямки-переносчика приводит к тому, что при её сдвиге не меняются свойства непрерывного спектра. Пик, появляющийся на краю исходной ямы, обеспечивает такое же отражение волн новой сглаженной ямой, как и исходной, резкой ступенькой.

Рис. 7. Искажённая форма (жирная сплошная линия) конечной прямоугольной потенциальной ямы, получающаяся при увеличении нормировочного множителя Вспомогательная узкая соли-тонообразная ямка уносит состояние с энергией тем дальше, чем больше значение Если ширина барьера справа от ямы конечна, то связанные состояния становятся квазистабильными, а перенос состояния с энергией к краю барьера позволяет увеличить вероятность его распада.

Спектральные параметры квазистационарных (резонансных) состояний можно изменять аналогичным образом. Так, увеличение относит, вероятности распада одного из нескольких квазисвязанных состояний (рис. 7) происходит при сдвиге выбранного состояния соответствующей вспомогат. ямкой сквозь потенц. барьер ближе к его внеш. краю; ширина барьера, преодолеваемая частицей в этом состоянии, меньше, чем в случае неизменных состояний.

Рассмотренные методы в принципе позволяют создавать резонансы с нулевой шириной (связанные состояния в непрерывном спектре с нулевой вероятностью распада), а также строить безотражательные потенц. ямы с любым числом связанных состояний, абсолютно прозрачные при любой энергии непрерывного спектра (в т. ч. потенциалы солитонного типа для случая одного связанного состояния).

Для преобразования спектра систем с периодич. потенц. полем (напр., кристаллов) можно использовать алгоритмы изменения нормировочного множителя выбранного состояния бесконечной прямоуг. ямы. Если периодически продолжить потенциал, изображённый на рис. 4, нарушающий симметрию производных волновой ф-ции осн. состояния на краях ямы, то в спектре возникает лакуна (запрещённая зона) в окрестности Действительно, для гладкого сшивания волновой ф-ции осн. состояния бесконечной ямы при продолжении на всю ось c на каждом новом периоде потребуется умножить на фактор нарушения симметрии что приводит к экспоненц. росту амплитуды y₁ при энергии Такая ситуация характерна для запрещённой энергетич. зоны системы. T. к. этот рост тем сильнее, чем больше фактор нарушения симметрии, степенью запрета можно управлять. Волновые ф-ции всех остальных состояний гладко продолжаются на всю ось без изменения величины их модуля, что характерно для разрешённых зон.

Можно порождать связанные состояния при любой энергии в запрещённых и разрешённых зонах, создавать безотражат. потенц. возмущения.

Теория спектральных преобразований многоканальных ОШ, отвечающих системе неск. ур-ний Шрёдингера, связанных матрицей взаимодействия предсказывает, как нужно трансформировать элементы матрицы, чтобы сдвинуть избранные уровни энергии, изменить нормировочные векторы связанных состояний и ширины резонан-сов, породить или устранить отдельные связанные состояния. Напр., связанные состояния в непрерывном спектре возможны с короткодействующей потенц. матрицей, в отличие от одноканального случая, когда для этого требуется слабо спадающее осциллирующее поведение при больших r.

Особенностью многоканальных систем является и то, что матрицы взаимодействия, относящиеся к абс. прозрачным (безотражательным при всех энергиях) системам, могут иметь в отд. каналах труднопроходимые барьеры, к-рые обходятся волнами по др. каналам. В многомерном случае возникают связи между параметрами Ш. о. с., нахождение их независимых аналогов - открытая, пока не решённая задача.

Для ОШ, отвечающего движению волн по решёткам (в кристаллич. структурах, дискретных пространствах квантовых чисел, нумерующих каналы и смешиваемые конфигурации, и т. п.), имеется конечная энергетич. полоса проводимости. Возможно создание систем со связанными состояниями в области непрерывного спектра, туннели-рование через потенц. барьеры, "свисающие" из верх, запрещённой энергетич. зоны. Для сдвига уровня и изменения нормировочных факторов избранного состояния необходимо вводить минимально нелокальные потенциалы. Последние позволяют управлять шириной запрещённой зоны и даже приводить к инверсии спектра связанных состояний.

Понимание принципов управления Ш. о. с. квантовых систем расширяет возможности приложений теории для создания новых приборов в микроэлектронике, квантовой оптике и т. д. Создание полей необходимой конфигурации возможно осуществлять с помощью технологии тончайших квантовых проводников, суперрешёток (см. Сверхрешётка), создания структур на поверхности с помощью туннельного микроскопа (см. Сканирующий туннельный микроскоп).

Лит.: Левитан Б. M., Обратные задачи Штурма - Лиувилля, M., 1984; Марченко В. А., Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения, К., 1977; Захарьев Б. H., Костов H. А., Плеханов E. Б., Точно решаемые одно- и многоканальные модели (уроки квантовой интуиции), "ЭЧАЯ", 1990, т. 21, с. 914;

Захарьев Б. H., Дискретная и непрерывная квантовая механика, точно решаемые модели (уроки квантовой интуиции II), "ЭЧАЯ", 1992, т. 23, с. 1387; Захарьев Б. H., Чабанов В. M., Качественная теория управления спектрами, рассеянием, распадами (уроки квантовой интуиции). "ЭЧАЯ", 1994, т. 25, с. 1561; Захарьев Б. H., Уроки квантовой интуиции, Дубна, 1996; Захарьев Б. H., Сузь ко А. А., Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи, M., 1985. Б. H. Захарьев.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.