- ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ
- ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ
-
- кривая в фазовом пространстве, составленная из точек, представляющих состояние динамической системы в последоват. моменты времени в течение всего времени эволюции.
Динамич. система задаётся с помощью закона, позволяющего установить состояние системы в произвольный (допустимый) момент времени t>0, если известно её состояние в нач. момент t =0. Это означает, что задаётся набор фазовых переменных x={xi, i=1, 2, ..., n} и эволюционный оператор Tt, преобразующий состояние х0 = х(t =0)в состояние x(t):
Оператор Т t удовлетворяет групповому свойству
и задаёт однопараметрич. группу преобразований фазового пространства на себя (параметром группы является время t). Группа преобразований фазового пространства, задаваемая оператором Т t, наз. ф а з о в ы м п о т о к о м. Ф. <т. являются орбитами этой группы. Фактически Ф. т. образуется в результате движения фазовой точки x(t )в фазовом пространстве под действием фазового потока. Кривая, начинающаяся в нек-рой нач. точке х0. и образованная по закону (1), является, вообще говоря, лишь частью Ф. т. Для получения полной Ф. <т. необходимо максимально продолжить кривую (1) не только в область t>0, но и в область t<0.
Ф. <т. могут представлять собой: 1) отдельные точки; 2) замкнутые кривые; 3) отрезки кривых конечной длины, заключённые между двумя точками (последние могут принадлежать или не принадлежать траектории); 4) кривые, неограниченные в одну или обе стороны. Траектории, яв- ляющиеся точками, наз. о с о б ы м и т о ч к а м и. Они от- вечают стационарным состояниям динамич. системы и яв- ляются неподвижными точками оператора
Если Ф. т. целиком находится в конечной области фазового пространства, то говорят, что она отвечает ф и н и тн о м у д в и ж е н и ю системы. В противном случае траек-тория представляет и н ф и н и т н о е д в и ж е н и е.
Часто динамич. систему с конечномерным фазовым пространством задают с помощью автономной системы обыкновенных дифференц. ур-ний
где
Если в нек-рой области фазового пространства ф-ции Fi(X )непрерывно дифференцируемы, то в этой области различные Ф. <т не пересекаются (в силу теоремы единственности решения системы обыкновенных дифференц. ур-ний; см. Коши задача).
Если ф-ции Fi(x )в (2) недифференцируемы где-либо, то Ф. <т. могут пересекаться. Напр., динамич. система, задаваемая ур-нием
имеет две траектории при
Первая отвечает стационарному состоянию, вторая - ин-финитному движению. Эти две Ф. т. пересекаются в точке x =0. Неединственность решения обусловлена недифференцируемостью при х = 0 правой части ур-ния (3).
Время движения системы вдоль Ф. т., начинающегося с какой-либо нач. фазовой точки, может быть как бесконечным, так и конечным. Последнее имеет место, напр., в системе
Действительно, из (5) следует
так что движение инфинитно, но время эволюции конечно при любых конечных значениях х0. и составляет 
Пусть в фазовом пространстве динамич. системы имеются стационарная точкам к.-л. траектории, идущие в эту точку. Пусть также система - гладкая в окрестности особой точки. Тогда время достижения этой точки вдоль любой траектории, не совпадающей с ней, бесконечно. Поэтому стационарные состояния отделены от прочих траекторий.
См. также Динамическая система, Фазовое пространство, Устойчивость движения, Статистическая физика.
Лит.: Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1984. Н. А. Кириченко.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.
