ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

- представление произведений неск. локальных операторов, определённыхв разл. точках пространства-времени, в виде суммы отд. локальных операторов.
В квантовой теории поля (КТП) из-за сингулярногоповедения Грина функций на малых расстояниях возникает трудностьпри построении локальных составных операторов из произведений гейзенберговскихполей (см. Гейзенберга представление) (х)(х - точка пространства-времени). В теории свободных полей для этойцели используется понятие нормального произведения (обозначается: ... :).Напр., для случая скалярного поля локальными операторами являются

и т. д. ( v= 0, 1, 2, 3,

= д/дх ^u). Общий рецепт для построения локальных составныхоператоров, справедливый как для свободных, так и для взаимодействующихполей, даёт О. р. Вильсона [1]:

где А(х), В(у )и О _п (х)- локальные операторы, С _п (х - y) - коэффициентныеф-ции, являющиеся обобщением ф-ций Грина.
Величины C_n(z )содержатсингулярности типа где добавка необходима для того, чтобы матричный элемент от левой части соотношения(1) удовлетворял правильным спектральным свойствам (см. Спектральноепредставление), вытекающим из положительности эпергии для всех промежуточныхсостояний. Показатели степени Р _п могут быть выраженычерез размерности (в единицах массы) операторов А, В и О _n по ф-ле Р _п= где d_i- канонич. размерности операторов,- их аномальные размерности.
О. р. (1) справедливо во всех порядкахтеории возмущений в перенормируемых моделях КТП (см. Перенормируемость взаимодействий).В теории возмущений размерности полей равны каноническим (=0), а коэффициентная ф-ция C_n(z )помимо степени содержит в виде множителя полином по ln( - z²). Гл. вклад всумму (1) при х- > у вносят операторы с мин. размерностью, <среди к-рых самыми важными являются единичный оператор I (d_I=1),сохраняющиеся (точно или приближённо) токи (d_j=3) и тензор энергии-импульса (d₀=4). При учёте взаимодействия размерность операторов I,и не меняется. <Из этого, в частности, следует, что матричный элемент от хронологическогопроизведения (Т )двух эл.-магн. токов по вакуумному состоянию

при <<х ->0 ведёт себя так же, какв свободной теории. Сечение е ⁺ е ^- -аннигиляции в адроны, <к-рое определяется мнимой частью этого матричного элемента в импульсномпредставлении, при больших энергиях (в системе центра инерции)пропорционально (где - постоянная тонкой структуры), что согласуется с экспериментом. Поправкик вакуумному среднему (*), возникающие из-за операторов О _п (х )сболее высокими размерностями О ₂ (х)= где - кварковое и глюонное поля. Г - нек-рая матрица (черта над означает дираковское сопряжение), приводят к вкладам

нарушающим масштабную инвариантность сеченияе ⁺ с ^- -аннигиляции [2].
Существует другая версия ф-лы (1), а именно:О. р. произведения Двух операторов на световом конусе

где, как и ранее, для простоты предполагается, <что А(х )и В(0 )являются скалярными по отношению к Лоренцапреобразованиям (т - характерная масса адрона,- нек-рый тензорный оператор,= 0,1,2,3).
Для классификации локальных операторовудобно ввести понятие твиста. Твист тензора равен по определению разности его размерности и спина S_n. Гл. вклад в разложение (2) дают операторы, <имеющие мин. значение твиста; при этом их спины и моменты могут быть произвольными. <Напр., для операторов, билинейных по кварковым полям, мин. твист (два)имеет выражение где символ S означает симметризацию по всем лореицевым индексами выделение следов. В квантовой хромодинамике (КХД) для обеспечения калибровочнойинвариантности следует в заменить все производные на ковариантные: (здесь - потенциал глюонного ноля, g - константа взаимодействия вКХД). В силу асимптотической свободы и ренормализационной гриппы коэффициентныеф-ции С _n^k( - х ² )вф-ле (2) ведут себя при х2- > 0 как

где с _п - числа, к-рыемогут быть найдены в рамках теории возмущений. О. р. на световом конусе(2) используется, в частности, для нахождения логарифмич. и степенных эффектовнарушения масштабно-инвариантного поведения структурных функций лептоп-адронных глубоконеупругих процессов(3).
О. р. является эфф. способом вычисленияи классификации разл. вкладов в физ. амплитуды процессов и находит широкоераспространение в приложениях КТП. Возможности применения ф-л (1), (2)в адронной физике связаны с тем, что вид коэффициентных ф-ций С _п, какправило, может быть установлен с помощью теорий возмущений, независимоот специфики сильного взаимодействия, после чего сравнение матричных элементовпо физ. адронным состояниям от левой и правой частей равенства (1) [или(2)] приводит к соотношениям между физ. амплитудами.
Строгое доказательство О. р. пока существуеттолько в рамках теории возмущений для простых перснормируемых моделей КТП[4].

Лит.:1) Wilsоn К. G., Non-Lagrangianmodels of current algebra, "Phys. Rev.", 1969, v. 179, p. 1499; 2) ShifmanM. A., Vainshtein A. I., Zakharоv V. I., QCD and resonance physics. Theoreticalfoundations, "Nucl. Phys. B", 1979, v. 147, p. "385; 3) Grоss D. J., Wi1сzekP., Asymptotically free gauge theories, "Phys. Rev. D", 1974, v. 9, p.980; 4) Завьялов О. И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М., 1979.

Л. Н. Липатов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.