ПОДОБИЯ ТЕОРИЯ

ПОДОБИЯ ТЕОРИЯ

       

учение об условиях подобия физ. явлений. Опирается на учение о размерности физ. величин (см. РАЗМЕРНОСТЕЙ АНАЛИЗ) и служит основой моделирования. Предметом П. т. явл. установление критериев подобия разл. физ. явлений и изучение с помощью этих критериев св-в самих явлений.

Физ. явления, процессы или системы подобны, если в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одной системы, пропорциональны соответств. величинам другой системы. Коэфф. пропорциональности для каждой из величин наз. коэфф. подобия. Физ. подобие явл. обобщением элементарного и наглядного понятия геом. подобия. При геом. подобии существует пропорциональность (подобие) сходственных геом. элементов подобных фигур или тел. При физ. подобии поля соответств. физ. параметров двух систем подобны в пространстве и времени. Напр., при кинематич. подобии существует подобие полей скорости для двух рассматриваемых движений; при динамич. подобии реализуется подобие систем действующих сил или силовых полей разл. физ. природы (силы тяжести, силы давления, силы вязкости и т. п.); механич. подобие (напр., подобие двух потоков жидкости или газа, подобие двух упругих систем и т. п.) предполагает наличие геом., кинематич. и динамич. подобий; при подобии тепловых процессов подобны соответств. поля темп-р и тепловых потоков; при электродинамич. подобии — поля токов, нагрузок, мощностей, поля эл.-магн. сил. Все перечисленные виды подобия — частные случаи физ. подобия. С развитием исследований сложных физ. и физ.-хим. процессов, включающих механич., тепловые и хим. явления, развиваются и методы П. т. для этих процессов, напр. устанавливаются условия подобия процессов трения и износа деталей машин, кинетики физ.-хим. превращений и др. явлений. Пропорциональность для подобных явлений всех характеризующих их параметров приводит к тому, что все безразмерные комбинации, к-рые можно составить из этих параметров, имеют для подобных явлений одинаковые численные значения. Безразмерные комбинации, составленные из определяющих параметров рассматриваемых явлений, наз. подобия критериями. Любая комбинация из критериев подобия также представляет собой критерий подобия рассматриваемых физ. явлений.

Если в рассматриваемых физ. явлениях или системах существует равенство не всех, а лишь нек-рых независимых критериев подобия, то говорят о неполном, или частичном, подобии. Такой случай наиболее часто встречается на практике. При этом существенно, чтобы влияние на протекание рассматриваемых физ. процессов критериев, равенство к-рых не соблюдается, было незначительным или малосущественным.

Размерные физ. параметры, входящие в критерии подобия, могут принимать для подобных систем сильно различающиеся значения; одинаковыми должны быть лишь безразмерные критерии подобия. Это св-во подобных систем и составляет основу моделирования.

Ниже более строго излагаются логич. основы П. т. Предположим, что для описания изучаемых явлений употребляются r основных независимых единиц измерения А1, А2, . . ., Аr (напр., в абс. системах единиц основными явл. единицы длины L, массы М и времени Т). Производные единицы образуются из основных согласно соотношению Q=Ap11Ap22. . .Аprr. Их размерность (Q)=(Ap11Ap22. . .Аprr) характеризуется числовыми показателями p1, p2, . . , pr. Каждая величина X размерности (Х)=(Q) может быть представлена в виде: X=xQ, где х — числовое выражение величины X при выбранной системе основных величин A1, А 2, . . ., Аr.

Пусть изучается класс явлений S, каждое из к-рых определяется заданием определённых значений системы величин (Ya). Два таких явления S(1) и S(2) наз. подобными, если значения величин Ya(2), характеризующие явление S(2), получаются из значений соответств. величин Y(1)a, характеризующих явление S(1), по формулам:

Y2a=kp11kp22. . .kPrrY(1)a,

где коэфф. подобия kt, k2, . . ., kr постоянны, а показатели p1, р2, . . ., рr определяются размерностью (Ya)=(Аp11Аp22. . .Аprr) величин Ya.

Предположим, что из системы величин (Ya) выделена нек-рая часть, образующая систему (Хb) определяющих параметров, так что числовое значение ya любой величины Ya явл. функцией ya=fa(xb) числовых значений хb величин Хb и вид функциональных зависимостей fa остаётся одним и тем же при любом выборе основных единиц измерения A1, А2, ..., Аr. В этом предположении основной принцип П. т. может быть сформулирован след. образом. Для подобия явлений S(1) и S(2) необходимо и достаточно, чтобы значения любой безразмерной комбинации определяющих параметров в явлениях S(1) и S(2) были равны: k(1)=k(2).

Каждое безразмерное выражение k вида (1) наз. к р и т е р и е м п о д о б и я. Очевидно, что при таком определении критериев подобия в их число попадают все безразмерные определяющие параметры и все отношения вида:

k=Xb1/Xb2, (2)

где Хb1 и Xb2 — определяющие параметры одной и той же размерности.

Необходимость для подобия равенств k(1)=k(2) в применении к безразмерным параметрам и отношениям вида (2) очевидна непосредственно. Их можно называть тривиальными. Сами отношения вида (2) при перечислении критериев подобия часто опускают. Если тривиальные условия k(1)=k(2) считаются заведомо выполненными, то среди нетривиальных условий подобия k(1) =k(2) имеется только s=n-r' независимых, где n — число разл. размерностей величин системы (Хb), а r' — Число независимых размерностей среди этих n размерностей. Т. к. всегда r'?r, то s?n-r.

Напр., геом. картина стационарного обтекания прямоугольной пластинки, помещённой в однородный неограниченный поток вязкой несжимаемой жидкости со скоростью на бесконечности, параллельной продольной стороне пластинки, определяется:

1) длиной пластинки l;

2) её шириной b;

3) скоростью потока на бесконечности v,

4) кинематич. коэфф. вязкости n.

Т. к. (b) =(l) и (n) = (vl), то среди трёх размерностей определяющих параметров имеются лишь две независимые, т. <е. r'=2 и s=n-r'=3-2=1. В соответствии с этим имеется один нетривиальный критерий подобия — Рейнольдса число Re=vl/n. Кроме того, имеется один тривиальный геом. критерий подобия b/l. Если исследуемые явления изучаются при помощи дифф. ур-ний, то определяющие параметры появляются: 1) в виде величин, входящих в начальные и граничные условия; 2) в виде коэфф., входящих в дифф. ур-ния. После приведения ур-ний к безразмерному виду в них остаются лишь безразмерные коэфф., к-рые и явл. критериями подобия..

Практич. применения П. т. весьма обширны. Она даёт возможность предварительного качественно-теоретич. анализа и выбора системы определяющих безразмерных параметров сложных физ. явлений. П. т.— основа для правильной постановки и обработки результатов экспериментов. В сочетании с дополнит. соображениями, полученными из эксперимента или из ур-ний, описывающих физ. явление, П. т. приводит к новым существ. результатам.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

ПОДОБИЯ ТЕОРИЯ

- учение об условияхподобия физ. явлений. П. т. основана на учении о размерностях физ. величин(см. Размерностей анализ )и служит основой моделирования. П. <т. устанавливает критерии подобия разл. физ. явлений, позволяющие с ихпомощью изучать свойства самих явлений. Явные и неявные функциональныесвязи между критериями подобия, к-рые получают с помощью П. т. (т. н. критериальныезависимости) способствуют пониманию сложных фпз. процессов и помогают интерпретироватьрезультаты как эксперим. исследований, так и числ. расчётов, объём к-рыхпрогрессивно возрастает по мерс развития чпсл. методов и совершенствованияЭВМ. П. т. позволяет формулировать фнз. закономерности и извлекать идеииз огромной массы расчётных или эксперпм. результатов.
Физ. процесс (явление) может определятьсяполем характеризующих его физ. величин т. е. распределением этих величин в пространстве с координатами х₁,х ₂, х ₃ и во времени t:

В безразмерной форме поле описывается зависимостью

где безразмерная зависимая переменная можетпредставлять собой либо отношение кнек-рому характерному её значению либо безразмерную комбинацию, в к-рую обязательно входит величина То же относится к безразмерным величинам Переход к безразмерным переменным позволяет устанавливать подобие полейфиз. величины.
Физ. явления, процессы или системы подобны, <если в сходственные моменты времени в сходственных точках пространствазначения переменных величин, характеризующих состояние одной системы, пропорц. <соответствующим величинам другой системы. Физ. подобие является обобщениемэлементарного и наглядного понятия геом. подобия, при к-ром существуетпропорциональность (подобие) сходственных геом. элементов подобных фигурили тел. При фпз. подобии поля соответствующих (одноимённых) параметровдвух систем подобны в пространстве и во времени. Напр., при кинематич. <подобии существует подобие полей скорости для двух рассматриваемых движений;при динамич. подобии реализуется подобие систем действующих сил или силовыхполей разл. фпз. природы (сил тяжести, сил давления, сил вязкости и т. <п.); механич. подобие (подобие двух потоков жидкости или газа, подобиедвух упругих систем и т. п.) предполагает наличие геом., кинематич. и динампч. <подобий; при подобии тепловых процессов подобны соответствующие поля темп-ри тепловых потоков, при электродинамич. подобии - поля токов, нагрузок, <мощностей, эл.-магн. сил. Все перечисленные виды подобия - частные случаифиз. подобия.
Физ. процесс полностью описывается нек-рой(замкнутой в матем. смысле) системой осн. ур-ний, т. е. системой зависимостеймежду фпз. величинами вида

у _i ⁼ f_i(x₁,x₂,....x_n),

где у _i - искомая (неизвестная)переменная, x_j - независимые переменные. Величины x_j разбиваютсяна две группы: в первую ( х ₁, x₂,..., x_k )входят k определяющих величин с независимыми размерностями, а во вторую(y_i,x_k+1,...,x_n)- величины, размерности к-рых выражаются через размерности величин первойгруппы. В силу т. н. П-теоремы всякая зависимость размерной фпз. величиныот размерных определяющих параметров может быть представлена в виде зависимостибезразмерной величины П от безразмерных комбинаций определяющих параметровП _i,П ₂,...,П _n-k, причём число этихбезразмерных комбинаций n - k меньше, чем общее число размерныхопределяющих параметров, на число определяющих параметров с независимымиразмерностями. Числ. значения безразмерных величин П ₁, П ₂,...,П _n-k при переходе от одной системы единиц измерений к другой (внутри данногокласса явлений) остаются неизменными. Безразмерные комбинации определяющихпараметров являются подобия критериями. Любая комбинация из критериевподобия также представляет собой критерий подобия, но существенными дляпостроения функциональных (критериальных) зависимостей являются лишь п- k независимых критериев подобия.
Напр., установившееся обтекание тела произвольнойформы (самолёт, подводная лодка) потоком несжимаемой вязкой жидкости определяется(при скоростях, не близких к скорости звука) характерным размером тела l, скоростью v невозмущённого потока далеко впереди тела и кинематич. коэффициентомвязкости жидкости v. Т. к. в системе СИ v измеряется в м ²/с, <т. е. его размерность выражается через размерности . и v, тоиз трёх размерностей определяющих параметров м, м/с, м ²/с лишьдве независимые. Т. о., п =3, k =2, п - k =1,т. е. имеется лишь один безразмерный критерий подобия - Рейнольдса числоRe=vl/v. Все безразмерные параметры, характеризующие обтеканиетела, являются ф-циями этого критерия, напр. безразмерные аэродинамическиекоэффициенты лобового сопротивления С _ха и подъёмнойсилы С _уа. Если эти коэф. определяются путём испытаниямоделей в аэродинамич. трубах или гидротрубах, то необходимо, чтобы величина Re при испытаниях модели, геометрически подобной натурному объекту, былатакой же, как при движении натурного объекта.
Два физ. процесса или явления подобны, <если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другогопростым пересчётом, к-рый аналогичен переходу от одной системы единиц измеренияк другой. Для осуществления пересчёта необходимы коэф. пропорциональности(коэф. подобия) - "переходные масштабы". Размерные физ. параметры, входящиев критерии подобия, могут принимать для подобных систем сильно различающиесязначения, одинаковыми должны быть лишь безразмерные критерии подобия. Этосвойство подобных систем и составляет основу моделирования.
С развитием исследований сложных физ. <и физ.-хим. процессов, включающих механич., тепловые, хим. и иные явления, <развиваются и методы П. т. для этих процессов; напр., устанавливаются условияподобия процессов трения и износа узлов и деталей машин, кинетики физ.-хим. <превращений, подобия и моделирования планетных атмосфер и др.
Если в рассматриваемых физ. явлениях илисистемах существует равенство не всех, а лишь нек-рых независимых критериевподобия, то говорят о неполном, или частичном, подобии. Такой случай наиб. <часто встречается на практике. При этом важно, чтобы влияние критериев, <равенство к-рых не соблюдается, было незначительно или малосущественнона протекание рассматриваемых физ. процессов.
Практич. применения П. т. весьма обширны. <Она даёт возможность предварительного качественно-теоретич. анализа и выборасистемы определяющих параметров сложных физ. явлений. П. т. - основа дляправильной постановки экспериментов и обработки их результатов. В сочетаниис дополнит. соображениями, полученными из ур-ний, описывающих физ. явление, <из экспериментов или числ. расчётов, П. т. приводит к новым существеннымрезультатам.

Лит.: Седов Л. И., Методы подобияи размерности в механике, 10 изд., М., 1987; Дьяконов Г. К., Вопросы теорииподобия в области физико-химических процессов, М., 19Г>6; Биркгофф Г.,Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие, пер. с англ., М., 1963; Гухман А. <А., Введение в теорию подобия, 2 изд., М., 1973; Веников В. А., Теорияподобия и моделирование (применительно кзадачам электроэнергетики),2 изд., М., 1976; Баренблатт Г. И., Подобие, автомодельность, промежуточнаяасимптотика, 2 изд., Л., 1982; Кутателадзе С. С., Анализ подобия и физическоемоделирование, Новосиб., 1986.

С. Л. Вишневецкий.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.