ФЛУКТУАЦИИ

ФЛУКТУАЦИИ

       

(от лат. fluctuatio — колебание), случайные отклонения физ. величин от их ср. значений. Ф. происходят у любых величин, зависящих от случайных факторов. Количеств. хар-ка Ф. основана на методах матем. статистики и теории вероятностей. Простейшей мерой Ф. величины х служит её дисперсия s2х, т. е. ср. квадрат отклонения х от ср. значения х=, s2х=(х-x=)2 = x=2-x2 , где черта сверху означает статистич. усреднение. Эквивалентной мерой Ф. явл. среднеквадратичное отклонение sх, равное корню квадратному из дисперсии, или его относит. величина

dx=sx/x=.

В статистич. физике Ф. вызываются хаотич. тепловым движением образующих систему ч-ц. Наблюдаемые значения физ. величин (т. и. экстенсивных, т. е. пропорциональных объёму системы, напр. энергии) очень близки к их ср. статистич. значениям, т. е. Ф. очень малы: относит. Ф. пропорц. 1/?N, где N — число ч-ц системы.

Однако для выделенных малых объёмов они могут быть легко обнаружены (особенно вблизи критических точек), напр. по рассеянию света, рентг. лучей или медл. нейтронов. Ф. имеют принципиальное значение, ограничивая пределы применимости термодинамич. понятий лишь большими (содержащими много ч-ц) системами, для к-рых Ф. значительно меньше самих флуктуирующих величин. Существование Ф. уточняет смысл второго начала термодинамики — утверждение о невозможности вечного двигателя 2-го рода остаётся справедливым, но оказываются возможными Ф. системы из равновесного состояния в неравновесные, обладающие меньшей энтропией; однако на основе таких Ф. нельзя построить вечный двигатель 2-го рода. Для ср. величин остаётся справедливым закон возрастания энтропии в изолированной системе.

Основы теории Ф. были заложены в работах амер. физика Дж. У. Гиббса (1902), А. Эйнштейна (1905—06), польск. физика М. Смолуховского (1906).

С помощью Гиббса распределений как в классич., так и в квант. случае можно вычислить Ф. в состоянии статистич. равновесия для систем, находящихся в разл. физ. условиях; при этом Ф. выражаются через равновесные термодинамич. параметры и производные потенциалов термодинамических. Напр., для системы с пост. объёмом V и пост. числом ч-ц N, находящейся в контакте с термостатом (с темп-рой Т), канонич. распределение Гиббса даёт для Ф. энергии (?):D?2=(kT)2cV, где сV— теплоёмкость при пост. объёме. Такое же выражение для Ф. справедливо и в случае квант. статистики, различаются лишь явные выражения для сV. В приведённом примере флуктуирует пропорц. объёму (т. н. экстенсивная) величина — энергия. Её относит. квадратичные Ф. D?2/?2 пропорциональны величине UN (нормальные Ф.) и, следовательно, очень малы. В точках фазовых переходов Ф. сильно возрастают и их относит. величина может убывать с увеличением N медленнее. Для более детальной хар-ки Ф. нужно знать ф-цию распределения их вероятностей.

Можно найти не только Ф. величины xi, но и корреляции между ними DxiDxk,, определяющие их взаимное влияние (лишь для статистически независимых величин DxiDxk=DxiХDxk=0); примером могут служить корреляции объёма и давления: DVDp=-kT. Для физ. величин А (х, t), В (х, t), зависящих от координат (х) и времени (t), вообще говоря, имеют место пространственно-временные корреляции между их Ф. в разл. точках пр-ва в разл. моменты времени:

DА (x1, t1)DВ(x2, t2)=F(x1-x2, t1-t2);

ф-ции F наз. пространственно-временными корреляц. (или коррелятивными) ф-циями, в состоянии статистич. равновесия они зависят лишь от разностей координат и времени.

Ф. связаны с неравновесными процессами. Такие неравновесные хар-ки системы, как кинетич. коэффициенты (электропроводность, вязкость и пр.), пропорциональны интегралам по времени от временных корреляц. ф-ций потоков физ. величин. Напр., электропроводность пропорциональна интегралу от корреляц. ф-ций плотностей токов, коэфф. теплопроводности, вязкости, диффузии пропорциональны соответственно интегралам от корреляц. ф-ций плотностей потоков тепла, импульса и диффузного потока; это справедливо как для классич., так и для квант. систем, однако в последнем случае ф-лы неск. усложняются.

В общем случае существует связь между Ф. физ. величин в равновесном состоянии и неравновесными св-вами системы при внеш. возмущении, определяемая флуктуационно-диссипативной теоремой.

Ф. в системах заряж. ч-ц проявляются как хаотич. изменения потенциалов, токов или зарядов; они обусловлены как дискретностью электрич. заряда, так и тепловым движением носителей заряда. Эти Ф. явл. причиной электрич. шумов и определяют предел чувствительности приборов для регистрации слабых электрич. сигналов (см. ФЛУКТУАЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ).

Ф. можно наблюдать по рассеянию света: случайные изменения плотности среды из-за Ф. вызывают случайные изменения по объёму показателя преломления, и в однородной по составу среде или даже в химически чистом в-ве рассеяние света может происходить так же, как в мутной среде. Это явление особенно заметно в бинарных растворах при темп-ре, близкой к критич. темп-ре растворения,— т. н. критич. рассеяние света. Ф. также очень велики в критич. точке равновесия жидкость — пар (см. КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ). Ф. давления проявляются в броуновском движении взвешенных в жидкости (или газе) малых ч-ц под влиянием нескомпенсированных точно ударов молекул окружающей среды.

В квантовой теории поля Ф. вакуума, связанные с возможностью рождения и поглощения виртуальных частиц, приводят к изменению значений массы и заряда ч-ц.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

ФЛУКТУАЦИИ

(от лат. fluctuatio - колебание) - случайные отклонения физ. величин от их средних значений. Ф. испытывают любые величины, зависящие от случайных факторов. Количественные характеристики Ф. основаны на методах матем. статистики и теории вероятностей. Простейшей мерой Ф. случайной величины х служит её дисперсия , т. е. ср. квадрат отклонения х от ср. значения х, где черта сверху означает статистич. усреднение. Эквивалентной мерой Ф. является среднеквадратичное отклонение , равное корню квадратному из дисперсии, или его относит, величина . Взаимное влияние Ф. неск. величин х_i определяется их корреляциями где . Для статистически независимых величин и, следовательно, корреляции равны нулю (см. также Корреляционная функция в статистич. физике).

В статистич. физике Ф. вызываются хаотическим тепловым движением частиц, образующих систему. Даже в состоянии статистич. равновесия наблюдаемые физ. величины испытывают Ф. около ср. значений. С помощью Гиббса распределений как в классическом, так и в квантовом случае можно вычислить равновесные Ф. для систем, находящихся в разл. внеш. условиях; при этом Ф. выражаются через равновесные термодинамич. параметры и производные потенциалов термодинамических. Напр., для системы с пост, объёмом V и пост, числом частиц N, находящейся в контакте с термостатом (с темп-рой T), каноническое распределение даёт для Ф. энергии результат: где C_V - теплоёмкость системы при пост, объёме. В приведённом примере флуктуирует т. н. экстенсивная (пропорц. объёму) физ. величина - энергия. Её относит, квадратичные Ф. пропорциональны 1/N, т. е. очень малы. Равновесные Ф. др. экстенсивных величин (объёма, числа частиц, энтропии и т. д.) ведут себя с ро-

стом числа частиц аналогичным образом. T. о., в состоянии статистич. равновесия макроскопич. величины с очень большой точностью равны своим ср. значениям Однако для выделенных малых объёмов Ф. могут быть легко обнаружены (особенно вблизи критических точек), напр., по рассеянию света, рентг. лучей или медленных нейтронов.

Для детальной характеристики Ф. вводится функция распределения их вероятностей (см. также Статистическая физика). Если флуктуирующая величина х описывает состояние системы в целом или к.-л. её макроскопич. части, то неравновесное состояние системы, связанное с появлением Ф., можно рассматривать как неполное статистич. равновесие с заданным значением рассматриваемой величины. Для изолированной системы вероятность w(x)dx величине х иметь значение в интервале между х и x + dx пропорциональна соответствующему статистич. весу, а ф-ция распределения равна w(x) = Cexp{S(x)/k}, где S (х) - энтропия неполного равновесия, характеризуемого точным значением флуктуирующей величины. Постоянная С находится из условия нормировки ф-ции распределения. Для неск. флуктуирующих макроскопич. величин Xi равновесная ф-ция распределения Ф. имеет вид

где энтропия рассматривается как ф-ция точных значений всех флуктуирующих величин. Приведённая ф-ла для ф-ции распределения Ф. макроскопич. величин является основой т. н. термодинамической теории флуктуации, впервые сформулированной А. Эйнштейном (1910). T. к. относительные Ф. макроскопич. величин малы, то энтропия 5 (x₁, ..., х_n )может быть разложена в ряд по степеням отклонений . С точностью до членов 2-го порядка по этим отклонениям равновесная ф-ция распределения макроскопич. величин совпадает с Гаусса распределением

где -матрица, обратная корреляционной матрице, -её определитель. Для Ф. термодинамич. величин подсистемы, к-рая находится в равновесии с остальными частями изолир. системы (термостатом), ф-ла (1) даёт

где -изменения давления, объёма, темп-ры и энтропии подсистемы при Ф., T- темп-pa термостата. Выбирая в ф-ле (2) в качестве независимых переменных разл. параметры подсистемы, можно вычислить все характеристики равновесных термодинамич. Ф.

Вблизи критических точек жидкостей и растворов, а также вблизи точек фазовых переходов наблюдается аномальный рост Ф. нек-рых физ. величин (параметров порядка) и их взаимодействие. Для чистых жидкостей параметрами порядка являются плотности массы и энергии, для растворов - концентрации компонент, для ферромагнетиков в окрестности Кюри точки - намагниченность и т. д. Рост Ф. приводит к ряду аномалий в поведении термодинамич. величин и в реакции системы на внеш. воздействие (критические явления).

Существует связь между Ф. физ. величин в равновесном состоянии и линейными диссипативными процессами, вызванными как внеш. механич. возмущениями (электропроводность, реакция на внешнее переменное магн. поле), так и внутр. неоднородностями в системе (напр., диффузия, теплопроводность и вязкость). Соотношения, связывающие характеристики линейных диссипативных процессов (проводимость, магн. восприимчивость, коэффициенты диффузии, теплопроводности, вязкости и т. д.) с пространственно-временными корреляционными ф-циями флуктуирующих динамич. переменных, наз. флуктуационно-диссипативными теоремами. К флук-

туационно-диссипативным теоремам относятся Кубо формулы для тензоров электропроводности и магн. восприимчивости и Трина - Кубо формулы для коэф. переноса. Флук-туационно-диссипативные теоремы для общего случая были сформулированы X. Кэлленом (H. В. Callen) и T. Уэлтоном (Th. A. Welton) в 1951 как обобщение Най-квиста формулы для электрич. шумов в линейных цепях; они оказываются полезными для вычисления спектральной плотности временных корреляционных ф-ций равновесных Ф. в тех случаях, когда обобщённые восприимчивости удаётся вычислить с помощью Грина функций (в статис-гич. физике) или к.-л. др. методом.

Ур-ния, описывающие эволюцию неравновесной макро-скопич. системы, напр, кинетическое уравнение Больцмана для классич. газа или ур-ния гидродинамики, являются ур-ниями для физ. величин, усреднённых по статистич. ансамблю. Вследствие теплового движения в системе эти величины испытывают Ф. около ср. значений.

Кинетические Ф. в газе характеризуются корреляц. ф-пией , где является отклонением точной, микроскопич. ф-ции распределения f от ср. значения этой ф-ции определяемого кинетич. ур-нием. В равновесном газе корреляц. ф-ция зависит только от разности времен t₁ - t₂ и разности координат r₁-r₂, а есть независящая от времени равновесная одночастич-ная ф-ция распределения. В частности, если нет внеш. поля, эта ф-ция совпадает с Максвелла распределением f₀(p).

Вычисление корреляц. ф-ции для кинетич. Ф. в равновесном газе можно свести к решению обобщённого Ланжевена уравнения

Левая часть этого ур-ния совпадает с линеаризов. кинетич. ур-нием Больцмана, где -линейный интегральный оператор (оператор столкновений), а правая часть представляет собой случайный источник, моменты к-рого определяются соотношениями

Интенсивность источника, описывающего влияние теплового движения частиц на Ф. одночастичной ф-ции распределения, имеет вид

где -равновесная концентрация частиц. Метод Ланжеве-на применим и к исследованию кинетич. Ф. в неравновесном газе, однако выражение для второго момента случайного источника является значительно более сложным. Кинетич. Ф. в квантовых газах описываются ур-ниями Ланжевена для отклонений одночастичной матрицы плотности или одночастичной Вигнера функции распределения от ср. значений, определяемых квантовым кинетич. ур-нием.

Для крупномасштабных гидродинамич. Ф. в газах и жидкостях применимо понятие локального (частичного) равновесия в малых объёмах при фиксиров. значениях флуктуирующих термодинамич. параметров. Поэтому в гидродинамич. пределе, когда длина волны Ф. велика по сравнению с микроскопич. размерами (межатомным расстоянием в жидкости и длиной пробега в газе), вычисление временных корреляц. ф-ций Ф. плотности, темп-ры, скорости и т. д. сводится к решению гидродинамич. ур-ний с дополнительными ланжевеновскими источниками, описывающими тепловой шум. Метод вычисления корреляц. ф-ций крупномасштабных Ф. в равновесном состоянии, основанный на линейных ур-ниях гидродинамики со случайными источниками, был предложен Л. Д. Ландау и E. M. Лифшицем в 1957. В случае однокомпонентной классич. жидкости тензор вязких напряжений тт,, и вектор потока тепла q записываются в виде

где -коэф. вязкости, -коэф. теплопроводности. Кроме обычных членов с градиентами скорости и градиентом темп-ры, эти выражения содержат ланжевенов-ские источники и ; они описывают спонтанные напряжения и потоки тепла, вызванные тепловым движением частиц.

Статистич. свойства источников в приближении локального термодинамического равновесия могут быть установлены методами термодинамики неравновесных процессов.Cp. значения источников равны нулю, а вторые моменты даются ф-лами

Решив систему линеаризованных гидродинамич. ур-ний, в к-рых тензор вязких напряжений и вектор потока тепла имеют вид (3), можно выразить временные корреляционные ф-ции Ф. локальных гидродинамич. переменных через равновесные термодинамич. величины и коэффициенты переноса. В частности, таким способом можно вычислить корреляц. ф-цию Ф. плотности числа частиц , через к-рую выражается динамический структурный фактор жидкости, измеряемый в экспериментах по рассеянию света и медленных нейтронов.

Нелинейное взаимодействие гидродинамич. Ф. необходимо учитывать вблизи критич. точки, где сильный рост равновесных крупномасштабных Ф. приводит к аномалиям наблюдаемых коэффициентов переноса, а также в неравновесных состояниях, когда система теряет гидродинамич. устойчивость. Характерными примерами являются конвективная неустойчивость и возникновение турбулентности в жидкостях и газах. Взаимодействие крупномасштабных Ф. описывается нелинейными членами в ур-ниях гидродинамики, где локальные термодинамич. величины рассматриваются как случайные переменные.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Статистическая физика, ч. 1, 3 изд., M., 1976; Зубарев Д. H., Неравновесная статистическая термодинамика, M., 1971; Паташинский А. 3., Покровский В. Л., Флуктуационная теория фазовых переходов, 2 изд., M., 1982; Климонтович Ю. Л., Статистическая физика, M., 1982; Лифшиц E. M., Питаевский Л. П., Статистическая физика, ч. 2, M., 1978; Форстер Д., Гидродинамические флуктуации, нарушенная симметрия и корреляционные функции, пер. с англ., M., 1980. В. Г. Морозов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.