ПОЛНОТА ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ

ПОЛНОТА́ ФУНКЦИОНА́ЛЬНАЯ

характеристика выразительных возможностей класса функций или формальных выражений ("словаря", или "алфавита") и системы правил комбинирования элементов этого класса ("грамматики"), играющая важную роль в математике, математической логике и ее приложениях. Напр., семейство функций, принадлежащих нек-рому классу функций, наз. полным относительно этого класса (и относительно нек-рого заданного запаса допустимых операций над функциями), если любую функцию этого класса можно выразить через функции данного семейства (с помощью допустимых операций над ними). Иными словами, (функционально) полная система образует "базис", исходя из к-рого можно построить любую функцию нек-рого класса с помощью определенных заранее операций. ("Функциональная" терминология здесь не столько обусловлена существом дела, сколько свидетельствует о "теоретико-функциональном" происхождении понятия П. ф. или связана с этимологией самого слова "функция" – "назначение"; понятие П. ф. носит скорее лингвистический – в достаточно широком смысле этого слова, – нежели специально матем. характер.) В качестве таких операций часто выбирают одну единств. операцию – суперпозицию (т.е. последоват. применение) данных функций (или, в "языковой" формулировке, сочленение, т.е. последоват. выписывание исходных "слов").

П. ф. служит весьма существ. характеристикой выразит. возможностей логич. системы: так, П. ф. к.-л. системы логики высказываний служит гарантией того, что любая пропозициональная функция выразима формулой такой системы. Примеры полных систем логич. функций (операций) логики высказываний можно найти в ст. Алгебра логики. В технич. приложениях двузначной логики (и более сложных систем, напр. трехзначных логик – см. Многозначная логика) П. ф. чрезвычайно существенна: набор функциональных элементов, из к-рых собирается к.-л. автоматич. система, моделирующая, напр., нек-рые определ. св-ва и функции нервной системы человека, должен быть функционально полным относительно этих моделируемых св-в и функций, т.е., попросту говоря, его должно "хватать" для выполнения поставл. задачи. (Таковы, в частности, в силу практич. необходимости, наборы функциональных элементов электронно-вычислит. машин по отношению к широкому классу программируемых и решаемых на них задач.) Но менее важна и теоретико-познават. сторона дела – на вопрос "А хватит ли выбранного базиса для того, чтобы выразить все, что нас интересует?" положит. ответ может быть дан только в форме доказательства П. ф. выбранного базиса относительно точно охарактеризованного класса "всего того, что нас интересует". Т.о., П. ф. – это полнота средств выражения, достаточность языка (для определ. целей). Для формальной системы (исчисления), предназначенной для формализации к.-л. теории, П. ф. множества элементарных правил формул и правил образования относительно записей предложений этой теории есть первое необходимое условие пригодности этой системы для поставл. цели. В то же время П. ф. ничего не говорит о возможности вывода в системе сформулированных в ней предложений – соответствующая характеристика "логической силы" дается понятием полноты дедуктивной.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, § 29; Hовиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959, гл. 1, § 5.

Ю. Гастев. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.