- ВЬЕТОРИСА ГОМОЛОГИИ
одна из первых теорий гомологии, определенных в неполиэдральном случае.
Впервые их рассмотрел Л. Брауэр (L. Brouwer, 1911) (в плоском случае), а затем Л. Вьеторис (L. Vietoris, 1927) распространил его определение на произвольные подмножества евклидова (и даже метрического) пространства.
Под (упорядоченным) n-мерным симплексом tn подмножества Аметрич. пространства X понимается упорядоченное подмножество
в Ас условием
После этого определяются
-цепи множества Апо данной группе коэффициентов Gкак формальные конечные линейные комбинации
-симплексов
с коэффициентами
Граница
симплекса
определяется так:
это -
-цепь. По линейности определяются граница любой
-цепи, и
-циклы как
-цепи с нулевой границей,
-цепь
множества
-гомологична нулю в А (взаписи
), если
для нек-рой
-цепи
в А.
Истинным циклом, множества Аназ. последовательность
в к-рой
есть
-цикл в А, и
. Истинные циклы образуют группу
(A, G). Истинный цикл z гомологичен нулю в А, если для любого
существует такое N, что все
при
-гомологичны нулю в А. Обозначим
факторгруппу группы
по подгруппе
циклов, гомологичных нулю.
Цикл zназ. сходящимся, если для любого
существует такое N, что любые два цикла
при
-гомологичны между собою в А. Обозначим группу сходящихся циклов
и пусть
-соответствующая факторгруппа.
Цикл z имеет компактный носитель, если существует такой компакт
, что все вершины всех симплексов всех циклов
лежат в F. Аналогично изменим понятие гомологичности нулю цикла, потребовав наличие компакта, на к-ром лежат все осуществляющие гомологию цепи; определяем сходящийся цикл с компактным носителем. Обозначая индексом kвнизу переход к циклам и гомологиям с компактными носителями, приходим к группам
и
. Вторая из них наз. группой гомологии Вьеториса. В случае конечного полиэдра группы В. г. совпадают со стандартными.
Определяются также относительные группы гомологии
по модулю подмножества
. Именно,
-циклом множества Апо модулю Вназ. любая
-цепь
в А, для к-рой цепь
лежит в В. Аналогично,
-цикл
по модулю В
-гомологичен по модулю Внулю в А, если
где
и
суть
-цепи в А, и цепь
лежит в В.
Лит.:[1] Александров П. С., Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975. А. А. Мальцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.