ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА

- 1) В. з. с закрепленными концами - задача вариационного исчисления, в к-рой концы кривой, доставляющей экстремум, зафиксированы. Напр., в простейшей задаче вариационного исчисления с закрепленными концами заданы начальная и конечная точки через к-рые должна проходить искомая кривая . Учитывая, что общее решение Эйлера уравнения простейшей задачи зависит от двух произвольных постоянных кривая, доставляющая экстремум, ищется среди решений соответствующей краевой задачи. При этом может оказаться, что краевая задача имеет единственное решение, неединственное или не имеет решения.

2) В. з. со свободными (подвижными) концами - задача вариационного исчисления, в к-рой концы кривой, доставляющей экстремум, могут перемещаться вдоль заданных многообразий. Напр., если в Больца задаче число граничных условий, к-рым должна удовлетворять искомая кривая строго меньше

то концы кривой могут смещаться вдоль мерного многообразия (*). В случае, когда граничные условия (*) заданы в виде

и или , концы кривой x(t).могут смещаться по соответствующим многообразиям размерностей . На концах кривой, доставляющей экстремум, должны выполняться трансверсальности условия, к-рые-.в совокупности с условиями (*) позволяют получить .замкнутую систему соотношения, приводящую к нек-рей краевой задаче. Из решения этой краевой задачи определяются произвольные постоянные, входящие в общий интеграл уравнения Эйлера.

Качественным отличием В. з. от задачи на экстремум функции многих переменных является то, что объектом поиска в В. з. является не точка в конечномерном пространстве, а функция (или точка в бесконечномерном пространстве). И. Б. Вапнярский.