- АВТОНОМНАЯ СИСТЕМА
обыкновенных дифференциальных уравнений - система обыкновенных дифференциальных уравнений, в к-рую не входит явно независимое переменное t(время). Общий вид А. с. 1-го порядка в нормальной форме:
или, в векторной записи,
Неавтономная система
сводится к А. с., если ввести новую неизвестную функцию
Исторически А. с. возникли при описании физич. процессов с конечным числом степеней свободы. А. с. наз. также динамическими, или консервативным и (см. Динамическая система).
Комплексная А. с. вида (1) эквивалентна вещественной А. с. с 2n неизвестными функциями
Содержательная теория комплексных А. с., отличная от вещественного случая, имеет место в случае аналитических
(см. Аналитическая теория дифференциальных уравнений).
Будем рассматривать А. с. с действительными коэффициентами и их действительные решения. Пусть
- (произвольное) решение А. с. (1),
- интервал его определения,
- решение с начальными данными
Пусть
- область в
и
Точка
наз. положением равновесия (точкой покоя) А. с. (1), если
Положению
равновесия отвечает решение
Локальные свойства решений.
1) Если
- решение, то
- решение при любом
2) Существование: при любых
решение
существует на нек-ром интервале
3) Гладкость: если
то
4) Зависимость от параметров: пусть
если
(подробнее см. [1] - [4]).
5) Пусть
не является положением равновесия, тогда существуют окрестности F, Wточек
соответственно, и диффеоморфизм
такие, что А. с. имеет вид
в W.
Замена переменных
в А. с. (1) приводит к системе
(
- Якоби матрица).
Глобальные свойства решений.
1) Любое решение
А. с. (1) можно продолжить на интервал
. Если
, то решение наз. неограниченно продолжаемым; если
то решение наз. неограниченно продолжаемым "в перед повремени" (аналогично - "назад"). Если
то для любого компакта
существует
=
такое, что точка
находится вне
при
(аналогично при
; см. Продолжаемость решений дифференциальных уравнений).
2) Продолжение единственно в том смысле, что любые два решения с общими начальными данными совпадают на общей области их определения.
3) Всякое решение А. с. принадлежит к одному из трех типов: а) непериодическое, причем
для любых
) периодическое, непостоянное; с)
.
Геометрическая интерпретация А. с. Каждому решению
ставится в соответствие кривая Г:
лежащая в области G. Тогда Gназ. фазовым пространством А. с., Г - фазовой траекторией, решение интерпретируется как движение по фазовой траектории. Фазовым потоком наз. отображение
:
по формуле
(т. е. каждая точка сдвигается за время tвдоль фазовой траектории). На своей области определения фазовый поток удовлетворяет условиям: 1)
непрерывно по
2) справедливо групповое свойство:
Имеет место теорема Лиувилля: пусть
- область с конечным объемом,
- объем области
тогда
Для гамильтоновой системы из (3) следует сохранение фазового объема фазовым потоком. Другой вариант равенства (3): пусть
- семейство решений А. с. (1),
- область,
тогд
а
где
Структура фазовых траекторий.
1) Любые две фазовые траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают.
2) Всякая фазовая траектория принадлежит к одному из типов: а) гладкая простая незамкнутая жорданова дуга, b) цикл, т. е. кривая, диффеоморфная окружности, с) точка (положение равновесия). Локальная структура фазовых траекторий в малой окрестности точки, отличной от положения равновесия, тривиальна (см. локальное свойство 5) решений): семейство фазовых траекторий диффеоморфно семейству параллельных прямых. Для линейной А. с. структура фазовых траекторий в окрестности положения равновесия известна, так как А. с. интегрируема (см. [5]). Для нелинейных А. с. этот вопрос принадлежит к числу не решенных до конца проблем даже при n=2 (см. Качественная теория дифференциальных уравнений). Одним из аспектов этой проблемы является вопрос об устойчивости положения равновесия (см. Устойчивости теория). Ниже приведены нек-рые результаты. Пусть
- положения равновесия систем (1) и
- окрестности точек
Системы (1) и (1') наз. эквивалентными в окрестности положения равновесия
если существуют
и взаимно однозначное отображение h: U->V такие, что
(если
т. е. при замене
траектории А. с. (1) переходят в траектории А. с.
Эквивалентность наз. дифференцируемой (топологической), если hесть диффеоморфизм (гомеоморфизм). Пусть
- положение равновесия А. с. (1), матрица
невырождена и не имеет чисто мнимых собственных значений. Тогда А. с. (1) в окрестности
топологически эквивалентна своей линейной части
. Полярный пример: А. с.
где
- постоянные матрицы с чисто мнимыми собственными значениями и
неизвестно, когда эти А. с. топологически эквивалентны. Одной из самых фундаментальных задач теории А. с. является задача о структуре всего семейства фазовых траекторий. Наиболее полные результаты получены при
но даже в этом случае задача далека от своего разрешения.
Лит.:[1] Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970; [2] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2 изд., М., 1965; [3] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [4] Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., 1971; [5] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1949.
М. В. Федорюк.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.