ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО


ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО

неравенство Бьенеме - Чебышева,- неравенство теории вероятностей, дающее оценку вероятности отклонений значений случайной величины от ее математич. ожидания через ее дисперсию. Пусть - нек-рая случайная величина с конечными математич. ожиданием и дисперсией Ч. н. состоит в том, что для любого вероятность события


не превосходит или

Это неравенство было независимым образом открыто И. Бьенеме (I. Bienayme, 1853) и П. Л. Чебышевым (1866). В современной литературе это неравенство чаще наз. Ч. н., возможно, и потому, что С именем П. Л. Чебышева связано использование его при доказательстве обобщения больших чисел закона (теоремы Чебышева). Ч. н. является представителем целого класса однотипных неравенств, простейшее из к-рых утверждает, что для неотрицательной случайной величины Xс конечным математич. ожиданием


(иногда наз. неравенством Маркова). Из этого неравенства вытекают неравенства для произвольных случайных величин, зависящие от моментов:


(при r=2 и само Ч. н.), а также более общее неравенство


для неотрицательной четной неубывающей при положительных значениях хфункции f(x). Неравенство (3) указывает путь получения новых неравенств того же типа, напр. экспоненциального неравенства:

Сложилась традиция относить все эти неравенства к чебышевскому типу и даже наз. Ч. н. Существует общий принцип получения Ч. н. при определенных условиях на моменты, основанный на использовании системы многочленов Чебышева (см. [4]). Для произвольных случайных величин Ч. н. дают точные, неулучшаемые оценки, однако в нек-рых конкретных ситуациях эти оценки можно уточнить. Напр., если Xимеет унимодальное распределение с модой совпадающей с математич. ожиданием, то справедливо неравенство Гаусса:
где
Значение Ч. п. в теории вероятностен определяется в конечном счете не его точностью, а простотой и универсальностью. Большую роль Ч. н. и ого видоизменения сыграли применительно к суммам случайных величин при доказательстве различных форм закона больших чисел и закона повторного логарифма. Ч. н. для сумм независимых случайных величия было подвергнуто обобщению и уточнению в двух главных направлениях. Первое из них связано с переходом от Ч. н.


к значительно более сильному неравенству


к-рое было доказано А. II. Колмогоровым и использовано им при доказательстве больших чисел усиленного закона (см. Колмогорова неравенство).
Второе направление посвящено замене степенной оценки в Ч. н. на экспоненциально убывающую и приводит к неравенствам Бернштейна- Колмогорова:


где

(см. Берпштейна неравенство). Такие уточнения Ч. н. получаются при дополнительных условиях ограниченности слагаемых Xi.
Получены многомерные аналоги нек-рых из указанных здесь неравенств (см. [5]).

Лит.:[1] Чебышев И. Л., лМатем. сб.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО" в других словарях:

  • Чебышева неравенство — Неравенство Чебышёва (теория вероятностей) Неравенство Чебышёва для сумм …   Википедия

  • Чебышева неравенство —         1) одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей                   и                   оно имеет вид:                   а в интегральной форме ― вид:                  … …   Большая советская энциклопедия

  • ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО — для конечных монотонных последовательностей неравенство Ч …   Математическая энциклопедия

  • Неравенство Чебышева для сумм — В теории меры и теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышева  см. Неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышева, утверждает, что если и то …   Википедия

  • НЕРАВЕНСТВО — отношение, связывающее два числа и посредством одного из знаков: (меньше), (меньше или равно), (больше), (больше или равно), (неравно), то есть Иногда несколько Н. записываются вместе, напр. Н. обладают многими свойствами, общими с равенствами.… …   Математическая энциклопедия

  • Неравенство Хёфдинга — В теории вероятностей неравенство Хёфдинга даёт верхнюю границу вероятности того, что сумма величин отклоняется от своего математического ожидания. Неравенство Хёфдинга было доказано Василием Хёфдингом в 1963 году.[1] Неравенство Хёфдинга… …   Википедия

  • Неравенство Колмогорова — В теории вероятностей, неравенством Колмогорова называется так называемое «неравенство максимума», ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного… …   Википедия

  • Неравенство Чебышёва для сумм — В теории меры и теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышёва см. Неравенство Чебышёва. Неравенство Чебышева для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва, утверждает, что если и то …   Википедия

  • Неравенство Чебышёва — В Википедии существует другое неравенство, носящее имя Чебышёва см. Неравенство Чебышёва для сумм. Неравенство Чебышёва, известное также как неравенство Биенэме Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно… …   Википедия

  • Неравенство Чебышева — В Википедии существует другое неравенство, носящее имя Чебышева  см. Неравенство Чебышева для сумм. Неравенство Чебышева, известное также как неравенство Биенэме  Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.