ХАРАКТЕРИСТИКА


ХАРАКТЕРИСТИКА

- одно из основных понятий в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Роль X. проявляется в существенных свойствах этих уравнений, таких, как локальные свойства решений, разрешимость различных задач, их корректность и др.
Пусть


- линейный дифференциальный оператор с частными производными порядка m, a


- его символ. Здесь -мультииндекс, | v |=v1+ .. .+vn,


Пусть S -гиперповерхность, определенная в уравнением причем при

В этом случае Sназ. характеристической поверхностью, или характеристикой, для оператора L( х, D). Другие названия X.: характеристическое многообразие, характеристическая линия (в случае
Ниже рассмотрен пример задачи Коши. Пусть S - произвольная (не обязательно характеристическая) гиперповерхность в определенная уравнениями

Пусть u0, ..., um-1 -функции, определенные на Sв окрестности Uточки и поставлена задача Коши


относительно неизвестной функции и. Здесь f-заданная функция, L(x, D) - заданный линейный дифференциальный оператор порядка т, п - ортонормированный вектор к S. Считая, для определенности, заменой переменных
приходят к уравнению


Невыписанное выражение под знаком не содержит частных производных от функции ипо порядка т. Возникают два случая:


В первом случае деление уравнения (2) на приводит к уравнению, разрешенному относительно старшей частной производной по переменной т. е. записанному в нормальной форме. Начальным условиям можно придать вид

Такая постановка задачи Коши хорошо изучена и, напр. при аналитически заданных функциях в уравнении и в начальных условиях, существует единственное решение этой задачи в классе аналитич. ций в достаточно малой окрестности точки х 0. Во втором случае точка х 0 является характеристической, а если равенство (1) верно для всех то поверхность Sявляется X. В этом случае начальные данные не могут быть произвольными и исследование задачи Коши усложняется.
Напр., для уравнения


могут быть заданы начальные условия на одной из его X. x1=0:


Если функция u1 отлична от постоянной, то задача Коши (3), (4) не имеет решения в пространстве С 2. Если же функция u1 постоянна, напр. равна то решение неединственно в С 2, т. к. им может быть любая функция вида

u(x1, х2) = ах1 + b1) + и02). где
Таким образом, задача Коши существенно различается в зависимости от того, заданы ли начальные данные на характеристической поверхности или нет.
X. обладает свойством инвариантности при преобразовании независимых переменных: если есть решение уравнения (1) и если преобразование переводит удовлетворяет уравнению


где

Другое свойство X. таково, что относительно X. Sоператор L(x, D )является внутренним дифференциальным оператором.
Эллиптические линейные дифференциальные операторы определяются как операторы, для к-рых не существует X. (действительных). Определение гиперболич. и параболич. операторов также тесно связано с понятием X. Так, линейный дифференциальный оператор 2-го порядка относится к гиперболич. типу, если он имеет два семейства X., и к параболическому, если - одно. Знание X. дифференциального уравнения позволяет свести это уравнение к более простому виду. Напр., пусть задано гиперболич. уравнение

Для него уравнение X. (1) имеет вид

Последнее уравнение определяет два различных семейства X.:

Существуют две X. из этих семейств такие, что соответствующие им функции и определяют замену переменных по формулам


и приводят уравнение (5) к канонич. виду

Для нелинейного дифференциального уравнения

где -мультииндексы, причем X. Sопределяется как гиперповерхность в с уравнением причем при и Символ в атом случае для оператора (6), задаваемого функцией F( х, и, v, w), определяется так:

Кроме переменных хи очевидно,может зависеть от Пусть, напр., задано уравнение 1-го порядка (m = 1). Кроме того, для простоты п=2. Уравнение (6) принимает вид

с функцией F(x, у, z, p, q). Уравнение X.:

Т. к. решение этого уравнения фактически может зависеть от и, то ее задают в параметрич. виде

причем эти функции удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям

x'(t) = Fp, y'(t) = Fq, z'(t) = pFp + qFq, P'(t)=-Fx-pFz, g'(t)=-Fy-qFz.

Геометрически это определяет т. н. характеристическую полосу (при Проекция этой полосы на пространство (x(t), y(t), z(t))определяет такую кривую линию в что в каждой своей точке она касается плоскости с направляющими коэффициентами p(t), q(t). Эта кривая также наз. X. уравнения (6).

Лит.:[1] Мизохата С., Теория уравнений с частными производными, пер. с япон., М., 1977: [2] Камке Э., Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, пер. с нем., М., 1966; [3] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнении, пер. с англ., М., 1970; [4] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [5] К ошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М., Уравнения в частных производных математической физики, М., 1970: [6] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [7] Михлин С. Г., Курс математической физики, М., 1968; [8] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977.
Ю. В. Комленко.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Синонимы:

Смотреть что такое "ХАРАКТЕРИСТИКА" в других словарях:

  • ХАРАКТЕРИСТИКА — (греч. charakter характер). 1) краткое, но верное описание главных отличительных признаков, свойств чего либо. 2) в математике: характеристика логарифма, часть этого логарифма, объясняющая целые единицы. Словарь иностранных слов, вошедших в… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • характеристика — и, ж. caractéristique f., пол. charakteristyka, нем. Charakteristik. 1. Описание, обрисовка, определение существенных особенностей, признаков кого , чего н. БАС 1. Приведя несколько примеров, мы можем теперь сделать общую характеристику немецкого …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • Характеристика — Характеристика  совокупность отличительных свойств кого либо или чего либо. Характеристика  официальный документ, содержащий оценку деловых и личных качеств человека. Характеристика  понятие в теории дифференциальных уравнений с… …   Википедия

  • Характеристика — (Χαρασσω черчу). Выбор из многообразия признаков, которые несет от каждого предмета или явления окружающей нас действительности наше восприятие, самого существенного, определяющего, характерного принадлежит к числу основных деятельностей… …   Литературная энциклопедия

  • ХАРАКТЕРИСТИКА — ХАРАКТЕРИСТИКА, характеристики, жен. (от греч. charakter). 1. Описание, определение отличительных свойств, достоинств и недостатков кого чего нибудь. «Общая характеристика коммунистического общества дана в трудах Маркса, Энгельса и Ленина.»… …   Толковый словарь Ушакова

  • Характеристика —     ХАРАКТЕРИСТИКА (Χαρασσω черчу). Выбор из многообразия признаков, которые несет от каждого предмета или явления окружающей нас действительности наше восприятие, самого существенного, определяющего, характерного принадлежит к числу основных… …   Словарь литературных терминов

  • характеристика — атрибут совокупности объектов; отличительный, определяющий, характеризующий объект; компонент содержания объектов; определенность объекта; определяет принадлежность объекта к к л. множеству; одноместное отношение (иметь характеристики); положение …   Идеографический словарь русского языка

  • характеристика — Отличительное свойство. Примечания 1. Характеристика может быть присущей или присвоенной. 2. Характеристика может быть качественной или количественной. 3. Существуют различные классы характеристик, такие как: физические (например, механические,… …   Справочник технического переводчика

  • ХАРАКТЕРИСТИКА — целая часть десятичного логарифма. Напр., lg 300 = 2,4771, где 2 есть характеристика для lg 300; lg 0,3 = ,4771, где = 1 есть характеристика для lg 0,3 …   Большой Энциклопедический словарь

  • характеристика — оценка, параметр, коэффициент, атрибут, описатель, свойство; отзыв, рекомендательное письмо, ярлык, колляция, , альбедо, объективка, референция Словарь русских синонимов. характеристика сущ., кол во синонимов: 9 • автохарактеристи …   Словарь синонимов

  • характеристика — электровакуумного прибора; характеристика Зависимость какого либо параметра электровакуумного прибора или параметра режима от другого параметра электровакуумного прибора или параметра режима при неизменных остальных независимых параметрах режима… …   Политехнический терминологический толковый словарь

Книги

  • Характеристика, . В сборник болгарской прозы включены произведения разных жанров - повести, рассказы, - написанные молодыми прозаиками в последние пять лет. В сборнике широко и разносторонне освещается жизнь… Подробнее  Купить за 70 руб
  • Характеристика, Александр Томов. Александр Томов, вошедший в литературу как поэт, в 80-е годы завоевал широкую популярность своей прозой. Повести А. Томова заинтересуют читателя критическим настроем, острой постановкой… Подробнее  Купить за 60 руб
Другие книги по запросу «ХАРАКТЕРИСТИКА» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.