- ФУНКТОР
-отображение одной категории в другую, согласованное со структурой категории. Точнее, одноместным ковариантным функтором из категории
в категорию
или, короче, Ф. из
в
наз. пара отображений
обозначаемых обычно одной и той же буквой, напр. F
подчиненных условиям:
1)
для каждого
2)
для любых морфизмов
Ф. из категории
двойственной категории
в категорию
наз. одноместным контравариантным функтором из
в
Таким образом, для контравариантного Ф.
по-прежнему должно выполняться условие 1), а вместо условия 2) - условие 2*)
для любых морфизмов
n-местным функтором из категорий...,
в категорию
ковариантным по аргументам 1 < i1 < i2 < ... < ik< пи контравариантным по остальным аргументам, наз. функтор из декартова произведения категорий
в категориюгде
при i = i1, ..., ik и
при остальных i. Двуместные Ф., ковариантные по обоим аргументам, наз. бифункторами.
Примеры функторов. 1) Тождественное отображение произвольной категориив себя есть одноместный ковариантный Ф., к-рый наз. тождественным функтором категории и обозначается
2) Пусть
-произвольная категория,
-категория множеств, А- фиксированный объект из
Сопоставление каждому
множества
и каждому морфизму
отображения
где
для каждого
является Ф. из
в
Этот Ф. наз. основным ковариантным функтором из
в
с представляющим объектом А. Аналогично, сопоставляя объекту . множество
и морфизму
отображение
где
строится основной контравариантный функтор из
в
с представляющим объектом А. Эти Ф. обозначаются Н А и Н А соответственно. Если
-категория векторных пространств над полем К, то Ф. Н К задает переход от пространства Ек сопряженному пространству линейных функционалов Е*. В категории топологических абелевых групп Ф. HQ, где Q-факторгруппа группы действительных чисел по подгруппе целых чисел, сопоставляет каждой группе ее группу характеров. 3) Сопоставление каждой паре объектов X, Y произвольной категории множества Н(X, Y), а каждой паре морфизмов
-отображения
определяемого равенством
для любого
является двуместным Ф. в категорию
контравариантным по первому аргументу и ковариантным по второму.
В любой категории с конечными произведениями произведение можно рассматривать как n-местный Ф., ковариантный по всем аргументам, при любом натуральном п. Как правило, конструкции, к-рые определяются для любого объекта категории или для любой последовательности объектов фиксированной длины независимо от индивидуальных свойств объектов, являются Ф. Таковы, напр., конструкция свободных алгебр нек-рого многообразия универсальных алгебр, к-рые единообразно сопоставляются каждому объекту категории множеств, конструкция фундаментальной группы топологич. пространства, конструкции групп гомологии и когомологий различных размерностей и т. д.
Любой Ф.определяет отображение каждого множества
в множество
сопоставляя морфизму
морфизм
Ф. Fназ. унивалентным, если все указанные отображения инъективны, и полным, если все эти отображения сюръективны. Для всякой малой категории
сопоставление
можно продолжить до полного унивалентного Ф. J из
в категорию
диаграмм со схемой
над категорией множеств
Лит.:[1] Букур И., Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [3] Мас Lane S., Kategorien. Begriffssprache und mathematische Theorie, В., 1972; [4] Schubert H., Kategorien, I-II, В.- Hdlb.- N. Y., 1970; [5] Цaленко М. ГЛ., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974.
М. Ш. Цаленко.
К-ФУНКТОР в алгебраической геометрии - инвариант когомологич. типа, сопоставляемый схемам в алгебраич. K-теории. Точнее говоря, в алгебраич. K-теории строится контравариантный функтор
из категории схем в категорию градуированных коммутативных колец [1]. К- Ф . родствен этальным когомологиям, однако между ними есть важное отличие: K-теория несет в себе обширную лцелочисленную
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.