ФОКУС

- тип расположения траекторий автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка

G - область единственности, в окрестности особой точки х _0. Этот тип характеризуется следующим образом. Существует окрестность Uточки х ₀ такая, что для всех траекторий системы, начинающихся в отрицательные полутраектории являются уходящими (с течением времени покидают любой компакт а положительные полутраектории, не выходя из U, примыкают к точке х ₀. наматываясь на нее наподобие логарифмич. спиралей, или наоборот. Ф. наз. при этом и сама точка х ₀. Характер приближения траекторий системы к Ф. х ₀ можно описать точнее, если ввести на плоскости (х ₁, х₂) полярные координаты с полюсом в х ₀. Тогда для любой примыкающей к Ф. х ₀ полутраектории полярный угол переменной точки (левый Ф.) или - (правый Ф.) при
Ф. либо асимптотически устойчив по Ляпунову, либо вполне неустойчив (асимптотически устойчив при t-> Его индекс Пуанкаре равен 1. На рис. изображен правый неустойчивый Ф. х ₀.(0, 0).

Для системы (*) класса С ¹ точка покоя х ₀ является Ф. в случае, когда матрица A=f' (х ₀) имеет комплексно сопряженные собственные значения с отличной от нуля действительной частью, но может быть Ф. и в тех случаях, когда эта матрица имеет чисто мнимые или кратные действительные собственные значения (см. также Центр, Центра и фокуса проблема).

Лит. см. при ст. Особая точка дифференциального уравнения.
А. Ф. Андреев.