- ФАНО МНОГООБРАЗИЕ
- гладкое полное неприводимое алгебраич. многообразие Xнад полем k, антиканонич. пучок
к-рого обилен. Основы изучения таких многообразий заложены Дж. Фано ([1], [2]).
Ф. м. размерности 2 наз. поверхностью дель Пеццо и является рациональной поверхностью. Многомерный аналог поверхностей дель Пеццо - Ф. м. размерности >2 уже не все являются рациональными многообразиями, напр. общая кубика в проективном пространстве Р 4. Неизвестно (1984), все ли Ф. м. унирациональны.
Хорошо изучены трехмерные Ф. м. (см. [3], [5]). О Ф. м. размерности больше 3 известны лишь отдельные частные результаты.
Группа Пикара Pic Xтрехмерного Ф. <м. Xконечно порождена и не имеет кручения. В случае когда основное поле kсовпадает с полемранг группы Pic X, равный второму числу Бетти b2 (Х). не больше 10 (см. [4]). Если
то Ф. <м. изоморфно
где Sd - поверхность дель Пеццо степени d. Ф. <м. Xназ. примитивным, если не существует моноидального преобразования
гладкого многообразия X' с центром в неособой неприводимой кривой. Если Ф. <м. Xпримитивно, то
Если b2 (Х)=-3, то Xявляется расслоением на коники над
другими словами, тогда существует морфизм
слой к-рого изоморфен конике, т. е. алгебраич. схеме, заданной однородным уравнением степени 2 в Р 2. Ф. <м. Xс b2 (Х)=2является расслоением на коники над проективной плоскостью Р 2 (см. [3]). В случае b2(X)=1существует 18 типов Ф. <м., к-рые описаны (см. [6]).
Для трехмерных Ф. <м. Xиндекс самопересечения антиканонич. дивизораНаибольшее целое число
такое, что
изоморфно
для нек-рого дивизора
наз. индексом Ф. <м. Индекс трехмерного Ф. <м. может принимать значения 1, 2, 3, 4. Ф. <м. индекса 4 изоморфно проективному пространству Р 3, а Ф. <м. индекса 3 изоморфно гладкой квадрике
Если r = 2, то индекс самопересечения d=H3 может принимать значения
причем каждое из них реализуется на нек-ром Ф. <м. Для Ф. <м. индекса 1 отображение
определяемое линейной системой
имеет степень
или 2. Опиеаны Ф. <м. индекса 1, для к-рых
Если
то Ф. <м. Xреализуется как подмногообразие V2g-2 степени 2g-2 в проективном пространстве Pg+1. Число gназ. родом Ф. <м. V2g-2 и совпадает с родом канонич. кривой - сечения многообразия Xпри антиканонич. вложении в Р g+1. Известна классификация Ф. <м.
класс гиперплоского сечения к-рых совпадает с антиканонич. классом и порождает группу Pic V2g-2 (см. [4], [5])
Лит.:[1] Fano G.,лAtti Congr. internaz. dei matematici. Bologna
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.