УРОВНЯ ЛИНИЯ

функции Грина - множество точек

где G(z, z₀) - функция Грина области Dкомплексной плоскости с полюсом в точке Если область Dодносвязна, то структура этого множества легко выясняется при конформном отображении Dна круг переводящем точку z₀ в Функция Грина инвариантна при этом отображении, а У. л. функции Грина круга с полюсом в служат окружности Таким образом, в случае односвязной области У. л. являются простые замкнутые кривые, совпадающие при с границей области Dи стремящиеся при к точке z₀. Если область D m -связна и граница ее состоит из жордановых кривых C_v, v=l, ... , т, то: если достаточно велико, то У. л. является жордановой кривой; при соответствующая У. л. стремится к точке z₀, а при убывании эта кривая удаляется от z₀; если т>1, то при нек-ром значении У. л. имеет самопересечение, а затем распадается на непересекающиеся простые замкнутые кривые; при достаточно малом У. л. состоит из mжордановых кривых, и при каждая из этих кривых стремится к одной из граничных кривых области D.
В вопросах приближения функций многочленами на замкнутом ограниченном множестве Вс односвязным дополнением большую роль играют оценки расстояния от точки границы множества Вдо У. <л. дополнения множества В(см. [4], [5]).
При однолистных конформных отображениях круга |z| <1 функциями класса
S={f: f(z)=z+... , f регулярна и однолистна в |z|<1}
поведение У. л. L(f, r )(образов окружностей |z|=r<l) наглядно выясняет степень искажения. Любой функцией класса Sкруг отображается на выпуклую область, а круг - на звездообразную область. У. л. L(f, r), 0<r<1, принадлежат кольцу и ограничивают односвязную область, содержащую начало координат.
Для кривизны K(f, r )У. л. L(f, r )в классе Sимеет место точная оценка:

и знак равенства имеет место для функции в точке z = r. Точная верхняя оценка для К(/, г) в классе Sпока (1984) неизвестна. Точная оценка сверху для К(f, r )в подклассе звездообразных функций из Sимеет вид:

и знак равенства имеет место для функции в точке z = r.
При отображении круга |z| <1 функцией класса Sчисло точек перегиба У. л. L(f, r) и число точек нарушения ее звездности (т. е. точек У. л., в к-рых меняется направление вращения радиуса-вектора, когда точка z пробегает окружность |z|=r в определенном направлении) Moгут изменяться немонотонно при возрастании r, т. е. если r₁<r₂, то может оказаться, что У. л. L(f, r₁) имеет больше точек перегиба и больше точек нарушения звездности, чем L(f, r₂).

Лит.:[1] Стоилов С., Теория Функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 2, М., 1962;[2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1960 (Добавление); [3] Александров И. А., Параметрические продолжения в теории однолистных функций, М., 1976; [4] Дзядык В. К., лИзв. АН СССР. Сер. матем.